Induzione Matematica
Ciao ragazzi! vi pongo un altro problema che mi sta creando qualche dubbio di troppo!
Spero che riusciate ad aiutarmi!
Usando l'induzione matematica stabilire da quale intero in poi vale la disuguaglianza:
$ 2^n <= n! $
So che dovrei studiare partendo da P(0) credo e poi per n+1 ma non so come andare avanti (e nemmeno se questo primo passo sia giusto)
Grazie a tutti!
Spero che riusciate ad aiutarmi!
Usando l'induzione matematica stabilire da quale intero in poi vale la disuguaglianza:
$ 2^n <= n! $
So che dovrei studiare partendo da P(0) credo e poi per n+1 ma non so come andare avanti (e nemmeno se questo primo passo sia giusto)
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao.
Le fasi da trattare, per applicare il principio di induzione, sono due, denominate solitamente con i termini "base" e "passo".
Nel nostro caso si consideri la proprietà $2^n <= n!$.
Base
$n=0 Rightarrow 2^0=1<=0! =1$ Vero
$n=1 Rightarrow 2^1=2<=1! =1$ Falso
$n=2 Rightarrow 2^2=4<=2! =2$ Falso
$n=3 Rightarrow 2^3=8<=3! =6$ Falso
$n=4 Rightarrow 2^4=16<=4! =24$ Vero
$n=5 Rightarrow 2^5=32<=5! =120$ Vero
$n=6 Rightarrow 2^6=64<=6! =720$ Vero
A questo punto dovremmo verificare se, per $n>=4$ la proprietà risulti definitivamente vera; applichiamo il...
Passo
Assumiamo che $n>4$ e che la proprietà sia vera per $n-1$, cioè supponiamo che:
$2^(n-1) <= (n-1)!$
Allora:
$2^n=2*2^(n-1)<=2*(n-1)!<=n*(n-1)! =n! Rightarrow 2^n<= n!$
cioè, supponendo che la proprietà sia vera per $n-1$, essa risulta vera per $n$.
Spero di aver reso (almeno un po') l'idea.
Saluti.
Le fasi da trattare, per applicare il principio di induzione, sono due, denominate solitamente con i termini "base" e "passo".
Nel nostro caso si consideri la proprietà $2^n <= n!$.
Base
$n=0 Rightarrow 2^0=1<=0! =1$ Vero
$n=1 Rightarrow 2^1=2<=1! =1$ Falso
$n=2 Rightarrow 2^2=4<=2! =2$ Falso
$n=3 Rightarrow 2^3=8<=3! =6$ Falso
$n=4 Rightarrow 2^4=16<=4! =24$ Vero
$n=5 Rightarrow 2^5=32<=5! =120$ Vero
$n=6 Rightarrow 2^6=64<=6! =720$ Vero
A questo punto dovremmo verificare se, per $n>=4$ la proprietà risulti definitivamente vera; applichiamo il...
Passo
Assumiamo che $n>4$ e che la proprietà sia vera per $n-1$, cioè supponiamo che:
$2^(n-1) <= (n-1)!$
Allora:
$2^n=2*2^(n-1)<=2*(n-1)!<=n*(n-1)! =n! Rightarrow 2^n<= n!$
cioè, supponendo che la proprietà sia vera per $n-1$, essa risulta vera per $n$.
Spero di aver reso (almeno un po') l'idea.
Saluti.
Grazie Alessandro!
la tua risposta l'ho capita, ma purtroppo mi sfugge (scusatemi se è una stupidaggine) il secondo passaggio: nella mia definizione dovrei verificare che, in questo caso, con $ n > 4 $ la proprietà sia vera per $ P(n+1) $ non per $ n-1 $ cioè per $ 2^(n+1) <= (n+1)! $
ma mi perdo nei passaggi
la tua risposta l'ho capita, ma purtroppo mi sfugge (scusatemi se è una stupidaggine) il secondo passaggio: nella mia definizione dovrei verificare che, in questo caso, con $ n > 4 $ la proprietà sia vera per $ P(n+1) $ non per $ n-1 $ cioè per $ 2^(n+1) <= (n+1)! $
ma mi perdo nei passaggi
Ciao.
Quello che conta, nel passo induttivo, è verificare l'implicazione per cui supponendo vera la proprietà riferita ad un valore naturale, essa risulti vera anche per il valore naturale successivo, quindi, ad esempio, si può tentare di dimostrare l'implicazione:
$P(n-1)$ vera $Rightarrow P(n)$ vera
oppure anche l'implicazione
$P(n)$ vera $Rightarrow P(n+1)$ vera
o, fantasticando un po', l'implicazione
$P(n+2015)$ vera $Rightarrow P(n+2016)$ vera
Spero di essere stato chiaro.
Saluti.
Quello che conta, nel passo induttivo, è verificare l'implicazione per cui supponendo vera la proprietà riferita ad un valore naturale, essa risulti vera anche per il valore naturale successivo, quindi, ad esempio, si può tentare di dimostrare l'implicazione:
$P(n-1)$ vera $Rightarrow P(n)$ vera
oppure anche l'implicazione
$P(n)$ vera $Rightarrow P(n+1)$ vera
o, fantasticando un po', l'implicazione
$P(n+2015)$ vera $Rightarrow P(n+2016)$ vera
Spero di essere stato chiaro.
Saluti.
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