Induzione con successione per ricorrenza

[Meringolo1]

Ho la seguente successione definita per ricorrenza:


$\{(a_0 in RR),(a_(n+1)= (a_n^2-3)/2 ):}$

Con $n>=1$

Utilizzando il principio di induzione devo provare che se $a_0 <-1$ oppure $a_0 >3$ allora la successione è crescente.

Io ho cominciato con il caso $a_0 >3$ prendendo $a_0 =4$

$a_1= (4^2-3)/2=13/2>4$

Il primo passo dovrebbe essere questo ma poi non so come procedere

[Meringolo1]

Ipotesi induttiva è che $a_(n+1)>a_n$

Infatti $((a_(n+1))^2-3)/2 = (a_n^2+2a_n+1-3)/2 > (a_n^2-3)/2$ poiche $ 2a_n+1 > 0$

[Frink1]

"Meringolo":Ho la seguente successione definita per ricorrenza:


$ \{(a_0 in RR),(a_(n+1)= (a_n^2-3)/2 ):} $

Con $ n>=1 $

Il primo passo dovrebbe essere questo ma poi non so come procedere [/quote]Hai preso $a_0=4$ come base, ma nel testo hai scritto che $a_0 \in \mathbb{R}$. In realtà dovrebbe bastarti la scelta di un $a_0$ scelto più grande di $3$, diciamo $\tilde{a_0}$. Da questo poi puoi continuare come hai svolto, semplicemente usando il fatto che è più grande di $3$ ti basta per concludere la base induttiva.
Inoltre, scrivi $n \geq 1$ ma allora come è definito $a_1$? Dovrebbe essere $n \geq 0$, ma questa è solo un errore di distrazione che non inficia il lavoro.

Direi che il passo va bene.

Prova a fare lo stesso per $a_0 \leq -1$...

[Meringolo1]

Per il caso $a_0 <-1$

Prendo $a_0 <-1$

Allora deve essere $(a_n^2-3)/2<((a_(n+1))^2-3)/2$

$hArr (a_n^2-3)/2<(a_n^2-2a_n+1-3)/2$

$hArr (a_n^2-3)<(a_n^2-2a_n+1-3)$

$hArr -3<-2a_n+1-3$

$hArr 2a_n<1$

$hArr a_n<1/2$

e infatti l'ipotesi era $a_0<-1$

[Meringolo1]

Sarei tentato di provare a ricondurmi ad un'equazione di secondo grado le cui soluzioni siano $3$ e$-1$.

Infatti $x^2-2x-3=0$ hanno come soluzione proprio le premesse che dice il testo del problema.

Il fatto è che avrei

$a_n^2-2(a_(n+1))^2-3=0$

e quindi gli indici non vanno bene

[jitter1]

Non so se è la stessa cosa che intendeva Frink, io risolverei così:

la successione è crescente se, per ogni $i$, $ a_(i + 1) = (a_i^2-3)/2 >a_i $, che vale solo se $a_i > 3$ or $a_i < -1$.
1) Se $a_0 > 3$, anche $a_1 > 3$, poiché $a_1 > a_0$ per quanto appena verificato. E quindi, per induzione, $a_(i + 1) > a_i$ per ogni $i$.
2) Se invece $a_0<-1$ la verifica è meno immediata, perché $a_1 > a_0$ (essendo, appunto, $a_0<-1$), ma $a_1$ potrebbe essere compreso fra -1 e 3. Verifichiamo che, invece, non è cosi, ma che anche $a_(i+1) < -1$:

$(a_i^2-3)/2<-1$

$(a_i^2-3+2)/2<0$, vera per ogni $a_i < -1$ (oltre che per $a_i >1$, ma qui non ci interessa).

Quindi, per induzione, se $a_0 < -1$, allora anche $a_1 < -1$ e così via.
Concludo, allora, che la successione è crescente.

[Meringolo1]

Seguendo il consiglio di Frink ho modificato il primo passo prendendo $a_0 in RR$ ossia:

$a_0 > 3$
$a_0=3+epsilon$
$a_1=((a_0)^2-3)/2 = ((3+epsilon)^2-3)/2= (9+2epsilon+epsilon^2-3)/2$

Deve essere $a_1 > a_0$ infatti
$rArr (9+6epsilon+epsilon^2-3)/2 > (3+epsilon)$
$rArr 6+6epsilon+epsilon^2>6+2epsilon$
$rArr 6+2epsilon+(4epsilon+epsilon^2)>6+2epsilon$ essendo $(4epsilon+epsilon^2)>0$

Da qui procedo come ho fatto prima

Ipotesi induttiva è che $a_(n+1)>a_n$

Infatti $((a_(n+1))^2-3)/2 = (a_n^2+2a_n+1-3)/2 > (a_n^2-3)/2$ poiche $ 2a_n+1 > 0$

e per il caso $a_0<-1$

Prendo $a_0 <-1$

Allora deve essere $(a_n^2-3)/2<((a_(n+1))^2-3)/2$

$hArr (a_n^2-3)/2<(a_n^2-2a_n+1-3)/2$

$hArr (a_n^2-3)<(a_n^2-2a_n+1-3)$

$hArr -3<-2a_n+1-3$

$hArr 2a_n<1$

$hArr a_n<1/2$

e infatti l'ipotesi era $a_0<-1$

[Meringolo1]

Può andare bene?