Induzione??
Salve a tutti!! gentilmente qualcuno mi aiuta a capire l'induzione?? la definizione la so ossia
sia p(n) un predicato la cui variabile sia n appartenente ai naturali. Sia n(0) appartenente ai naturali e supponiamo che siano vere le due condizioni:
a)$p(n(0))$ è vera
b)se p(n)implica p(n+1) vero perogni $n>=n(0)$
però non riesco a fare gli esercizi per esempio questo
$(10)^n>=n$ per ogni n >=1
ciò è vero per$ n=1$
suppongo che valga $(10)^n>=n$
e verifico che questo vale $(10)^(n+1)>=n+1$
$(10)^(n) *10>=n+1$
ma poi non saprei come andare avanti! Grazie mille
sia p(n) un predicato la cui variabile sia n appartenente ai naturali. Sia n(0) appartenente ai naturali e supponiamo che siano vere le due condizioni:
a)$p(n(0))$ è vera
b)se p(n)implica p(n+1) vero perogni $n>=n(0)$
però non riesco a fare gli esercizi per esempio questo
$(10)^n>=n$ per ogni n >=1
ciò è vero per$ n=1$
suppongo che valga $(10)^n>=n$
e verifico che questo vale $(10)^(n+1)>=n+1$
$(10)^(n) *10>=n+1$
ma poi non saprei come andare avanti! Grazie mille
Risposte
"SaraBi":
$(10)^(n) *10>=n+1$
Penso tu l'abbia capito, ma sottolineo che questa è proprio la disuguaglianza da dimostrare (sotto l'ipotesi che $10^n>=n$).
Visto che a destra del $>=$ c'è una $n$ libera e tu vuoi assolutamente sfruttare la disuguaglianza che hai come ipotesi, prova a scriverti $10^n*10$ come $10^n+ "qualcosa"$. Dopodiché devi sperare che quel qualcosa sia maggiore di 1! In tal caso l'uguaglianza sarebbe vera, giusto? Questo cerca di capirlo anche se non riesci a dividerti il prodotto in quel modo.
PS: Ciao a tutti, mi sono iscritto ieri ed è il mio primo messaggio!
$10^(n+1)=10*10^n>=10*n=n +9n>=n+1$
L'ultima disuguaglianza è vera perchè $AA n>=1$, $9n>=1$
L'ultima disuguaglianza è vera perchè $AA n>=1$, $9n>=1$
Hai ragione, applicare l'ipotesi induttiva prima rende quel passaggio più facile, ci avevo pensato all'inizio ma poi mi sono confuso. Però così glielo hai svolto tutto!
Ciao yellow, benvenuto nel forum
Ho ritenuto che risolvere questo tipo di esercizio possa aiutare SaraBi a capire in generale come si risolvono gli esercizi dove si utilizza il principio di induzione.
"yellow":
Però così glielo hai svolto tutto!
Ho ritenuto che risolvere questo tipo di esercizio possa aiutare SaraBi a capire in generale come si risolvono gli esercizi dove si utilizza il principio di induzione.
grazie per le risposte!! Però non riesco a capire come lo hai preso $10*n$??
Tu sai che $10^n>=n$, quindi moltiplicando per $10$ a destra e sinistra trovi la disuguaglianza che Gi8 ha chiamato "ipotesiinduttiva".
A livello pratico però puoi vederla così: hai $10*10^n$, se al posto di $10^n$ ci metti un numero più piccolo ($n$) il prodotto sarà più piccolo, ossia $10*10^n>=10n$ (ma attenta, se ci fossero dei numeri negativi questo ragionamento non sarebbe per forza valido).
Adesso, se dimostri che $10n$ è maggiore o uguale a $n+1$, lo sarà di conseguenza anche $10*10^n$ !
A livello pratico però puoi vederla così: hai $10*10^n$, se al posto di $10^n$ ci metti un numero più piccolo ($n$) il prodotto sarà più piccolo, ossia $10*10^n>=10n$ (ma attenta, se ci fossero dei numeri negativi questo ragionamento non sarebbe per forza valido).
Adesso, se dimostri che $10n$ è maggiore o uguale a $n+1$, lo sarà di conseguenza anche $10*10^n$ !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo