Induzione
ho un dubbio se io ho una successione di numeri naturali devo provare per induzione che $a_n >=n $ come posso procedere?
Risposte
Qual è la successione in questione?
$ {a_n} $ successione di numeri naturali crescente
ho pensato una cosa del genere:
1. per n = 1 verà perchè il primo termine è maggiore uguale di 1,da qui ip induttiva
2. per n = n+1 considero la successione di termine generale dei numeri naturali più il successivo ossia: $1, 2, 3,...,n, n+1 >= n+1$ dall ' ipotesi so che i primi termini n sono >= di n, divido tutto per n+1 e ottengo $a_n>=1$, però non mi convince...che potrei fare?..
1. per n = 1 verà perchè il primo termine è maggiore uguale di 1,da qui ip induttiva
2. per n = n+1 considero la successione di termine generale dei numeri naturali più il successivo ossia: $1, 2, 3,...,n, n+1 >= n+1$ dall ' ipotesi so che i primi termini n sono >= di n, divido tutto per n+1 e ottengo $a_n>=1$, però non mi convince...che potrei fare?..
"5t4rdu5t":
ho pensato una cosa del genere:
1. per n = 1 verà perchè il primo termine è maggiore uguale di 1,da qui ip induttiva
2. per n = n+1 considero la successione di termine generale dei numeri naturali più il successivo ossia: $1, 2, 3,...,n, n+1 >= n+1$ dall ' ipotesi so che i primi termini n sono >= di n, divido tutto per n+1 e ottengo $a_n>=1$, però non mi convince...che potrei fare?..
L'induzione è sempre la stessa,
$a_1 >= 1$ P(1)
$P(n) \Rightarrow P(n+1) $
Cioè $a_n>=n \Rightarrow a_{n+1) >= n+1 $
cosa sbaglio nella dimostrazione?come procedo?
La cosa non funziona se non si suppone che \((a_n)\) sia strettamente crescente.
Infatti, preso \(a_n=1\) per ogni indice \(n\), la successione \((a_n)\) si guarda bene dal soddisfare la proprietà \(a_n\geq n\), pur essendo crescente (perché \(a_{n+1}\geq a_n\)).
Infatti, preso \(a_n=1\) per ogni indice \(n\), la successione \((a_n)\) si guarda bene dal soddisfare la proprietà \(a_n\geq n\), pur essendo crescente (perché \(a_{n+1}\geq a_n\)).
"gugo82":
La cosa non funziona se non si suppone che \((a_n)\) sia strettamente crescente.
Infatti, preso \(a_n=1\) per ogni indice \(n\), la successione \((a_n)\) si guarda bene dal soddisfare la proprietà \(a_n\geq n\), pur essendo crescente (perché \(a_{n+1}\geq a_n\)).
si ha $a_n >=n$ da un certo n in poi e si ha che $a_n +1 >= n+1$ per ipotesi induttiva basta avere che $ a_{n+1}>= a_n +1$ ma essendo una successione strettamente crescente di naturali ci sarà nel caso peggiore $a_{n+1}=a_n+1$ da qui la tesi.
"Ariz93":
[quote="gugo82"]La cosa non funziona se non si suppone che \((a_n)\) sia strettamente crescente.
Infatti, preso \(a_n=1\) per ogni indice \(n\), la successione \((a_n)\) si guarda bene dal soddisfare la proprietà \(a_n\geq n\), pur essendo crescente (perché \(a_{n+1}\geq a_n\)).
si ha $a_n >=n$ da un certo n in poi e si ha che $a_n +1 >= n+1$ per ipotesi induttiva basta avere che $ a_{n+1}>= a_n +1$ ma essendo una successione strettamente crescente di naturali ci sarà nel caso peggiore $a_{n+1}=a_n+1$ da qui la tesi.[/quote]
non ho capito bene quando ti rifai al caso peggiore...potresti farmi un pratico per favore?
@ 5t4rdu5t: Supponi che \((a_n)\) cresca strettamente.
La base dell'induzione è vera (banalmente).
Proviamo il passo induttivo, cioè che \(a_n\geq n\ \Rightarrow \ a_{n+1}\geq n+1\).
Per la stretta monotonia e l'ipotesi induttiva hai:
\[
a_{n+1}>a_n \qquad \text{e}\qquad a_n\geq n
\]
quindi \(a_{n+1}>n\), per le proprietà dell'ordine.
Visto che \(a_{n+1}\in \mathbb{N}\) e che tra due numeri naturali consecutivi non ce n'è nessun altro, dalla precedente disuguaglianza segue \(a_{n+1}\geq n+1\), che è quel che volevi.
Per capire meglio l'ultimo passaggio, prova a scegliere un indice a casaccio, ad esempio \(n=10\): in tale caso hai \(a_{11}>10\) e ciò implica che \(a_{11}\geq 11\) (poiché non può essere contemporaneamente \(a_{11}>10\) e \( a_{11}<11\), non essendoci alcun numero naturale tra \(10\) ed \(11\)).
La base dell'induzione è vera (banalmente).
Proviamo il passo induttivo, cioè che \(a_n\geq n\ \Rightarrow \ a_{n+1}\geq n+1\).
Per la stretta monotonia e l'ipotesi induttiva hai:
\[
a_{n+1}>a_n \qquad \text{e}\qquad a_n\geq n
\]
quindi \(a_{n+1}>n\), per le proprietà dell'ordine.
Visto che \(a_{n+1}\in \mathbb{N}\) e che tra due numeri naturali consecutivi non ce n'è nessun altro, dalla precedente disuguaglianza segue \(a_{n+1}\geq n+1\), che è quel che volevi.
Per capire meglio l'ultimo passaggio, prova a scegliere un indice a casaccio, ad esempio \(n=10\): in tale caso hai \(a_{11}>10\) e ciò implica che \(a_{11}\geq 11\) (poiché non può essere contemporaneamente \(a_{11}>10\) e \( a_{11}<11\), non essendoci alcun numero naturale tra \(10\) ed \(11\)).
"gugo82":
Per capire meglio l'ultimo passaggio, prova a scegliere un indice a casaccio, ad esempio \(n=10\): in tale caso hai \(a_{11}>10\) e ciò implica che \(a_{11}\geq 11\) (poiché non può essere contemporaneamente \(a_{11}>10\) e \( a_{11}<11\), non essendoci alcun numero naturale tra \(10\) ed \(11\)).
Gugo82 ti ha dato una spiegazione più chiara, però dato che me lo hai chiesto ti spiego il mio "caso peggiore" ,pensa a una successione di naturali strettamente crescente si ha che $a_{n+1}>=a_n+1$ questo perché?
Perché la successione è strettamente crescente e $a_n,a_{n+1} \in RR $,infatti la "minima" distanza che ci può essere tra un elemento della successione ed un altro è proprio 1 ,questo coincide con l'uguaglianza cioè $a_{n+1}=a_n+1$ .
Io l'ho chiamato il caso peggiore 8perché il mio prof(a buon ragione) ci ha insegnato a considerare i casi peggiori possibili di una dimostrazione,infatti seè coerente l'uguaglianza lo è di certo la disuguaglianza $a_{n+1}>a_n+1$ che è la tesi.
[ot]Gugo82 volevo sapere se questo tipo di ragionamento fosse valido in matichese...perché ho il timore che debbo dimostrare che è il caso peggiore ed inoltre sembra poco rigoroso come tipo di ragionamento[/ot]
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