Individuare aperto s.c in cui esiste la primitiva
Data questa funzione: $ f(z) = \frac {1}{z-i} $ devo trovare un aperto semplicemente connesso in cui ammette una primitiva
e calcolarla.
Sono andato ad intuito ma non sono convinto. La funzione presenta una singolarità in $ i $. Allora come aperto
semplicemente connesso in cui la funzione ammette primitiva ho considerato $ C - {z = x+iy: x=0, y<=1} $.
Non sono esattamente convinto.
La primitiva l'ho calcolata facendo:
$ int_{\gamma} \frac {1}{z-i} dz $ = $ 2\pi i res(f(z),i) $ = $ 2\pi i $
Che dite?
Aggiungo che devo fare lo stesso per $ e^(1/z) + z + 1 $ senza calcolarne la primitiva. In questo caso avrei $ z = 0 $ come singolarità. Come insieme semplicemente connesso prenderei dunque $ C - {z = x+iy: x <= 0, y = 0} $
e calcolarla.
Sono andato ad intuito ma non sono convinto. La funzione presenta una singolarità in $ i $. Allora come aperto
semplicemente connesso in cui la funzione ammette primitiva ho considerato $ C - {z = x+iy: x=0, y<=1} $.
Non sono esattamente convinto.
La primitiva l'ho calcolata facendo:
$ int_{\gamma} \frac {1}{z-i} dz $ = $ 2\pi i res(f(z),i) $ = $ 2\pi i $
Che dite?
Aggiungo che devo fare lo stesso per $ e^(1/z) + z + 1 $ senza calcolarne la primitiva. In questo caso avrei $ z = 0 $ come singolarità. Come insieme semplicemente connesso prenderei dunque $ C - {z = x+iy: x <= 0, y = 0} $
Risposte
"Drake_89":
Data questa funzione: $ f(z) = \frac {1}{z-i} $ devo trovare un aperto semplicemente connesso in cui ammette una primitiva
e calcolarla.
Io avrei preso una boccetta aperta sufficientemente lontana dalla singolarità: non so se è obbligatorio prendere semipiani o altro. Comunque se metti $y\le1$ non è un aperto perché un estremo lo prendi (oltre che includi la singolarità in $i$).
Se non sbaglio c'è un teorema che dice che se una funzione è olomorfa in un aperto ammette una primitiva... no?
"Drake_89":
La primitiva l'ho calcolata facendo:
$ int_{\gamma} \frac {1}{z-i} dz $ = $ 2\pi i res(f(z),i) $ = $ 2\pi i $
Sono passati due anni da quando ho seguito analisi complessa, ma credo che quella non sia la primitiva, semmai il valore della primitiva lungo $\gamma$ o qualcosa di simile che ho detto molto male.
Non credo sia obbligatorio ma vado sul sicuro 
Comunque attenzione, ho scritto C - quella roba, ossia vado ad escludere i punti per i quali si ha $ y <= 1 $ e $ x = 0 $. Mi rendo conto che il modo migliore di scriverlo è:
$ C\... $.
Per il secondo hai ragionissimo, ho confuso. Allora il risultato dovrebbe essere semplicemente $ log(z-i) $.
Comunque attenzione, ho scritto C - quella roba, ossia vado ad escludere i punti per i quali si ha $ y <= 1 $ e $ x = 0 $. Mi rendo conto che il modo migliore di scriverlo è:$ C\... $.
Per il secondo hai ragionissimo, ho confuso. Allora il risultato dovrebbe essere semplicemente $ log(z-i) $.
"Drake_89":
C - quella roba
Svista personale, pardon.
"Drake_89":
Per il secondo hai ragionissimo, ho confuso. Allora il risultato dovrebbe essere semplicemente $ log(z-i) $.
Immaginavo, infatti, una cosa simile: non so, però, se ci si può accontentare così o bisogna farsi tutti gli scrupoli del caso quando si ha un logaritmo complesso (eventuale scelta di un ramo regolare, ecc...). Ma credo che vada così.
Bah male che va lo calcolo. $ log(z-i) = log|z-i| + iarg(z-i) $ ecc..
Per la seconda funzione che mi dici? E' giusto?
Per la seconda funzione che mi dici? E' giusto?
"Drake_89":
Per la seconda funzione che mi dici? E' giusto?
Per me sì e il fatto che ancora non mi ha smentito nessuno mi rende fiducioso sulle risposte.
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