Indipendenza dal rettangolo nella definizione estesa di integrale multiplo
Ciao a tutti,
ho un problema che non riesco a risolvere.
Come sapete, se \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \) è un insieme limitato, l'integrale multiplo di una funzione \( f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) limitata si definisce scegliendo un rettangolo \( R \) contenente \( \Omega \) e definendo la funzione \( \tilde{f} \) come
\[ \tilde{f}(\mathbf{x}) = \cases{f(\mathbf{x}) & \text{se } \mathbf{x} \in \Omega \\ 0 & \text{se } \mathbf{x} \in R \setminus \Omega} \]
A questo punto, si dice che \( f \) è integrabile su \( \Omega \) se e solo se \( \tilde{f} \) è integrabile su \( R \) e si pone per definizione
\[ \int_{\Omega} f(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} = \int_R \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \]
Tutte le fonti che ho consultato finora dicono che è facile dimostrare che nè l'integrabilità di \( f \), nè l'integrale di \( f \) dipendono in alcun modo dalla scelta di \( R \).
Ma io non so neanche da dove iniziare per dimostrarlo.
Qualcuno mi sa aiutare?
ho un problema che non riesco a risolvere.
Come sapete, se \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \) è un insieme limitato, l'integrale multiplo di una funzione \( f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) limitata si definisce scegliendo un rettangolo \( R \) contenente \( \Omega \) e definendo la funzione \( \tilde{f} \) come
\[ \tilde{f}(\mathbf{x}) = \cases{f(\mathbf{x}) & \text{se } \mathbf{x} \in \Omega \\ 0 & \text{se } \mathbf{x} \in R \setminus \Omega} \]
A questo punto, si dice che \( f \) è integrabile su \( \Omega \) se e solo se \( \tilde{f} \) è integrabile su \( R \) e si pone per definizione
\[ \int_{\Omega} f(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} = \int_R \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \]
Tutte le fonti che ho consultato finora dicono che è facile dimostrare che nè l'integrabilità di \( f \), nè l'integrale di \( f \) dipendono in alcun modo dalla scelta di \( R \).
Ma io non so neanche da dove iniziare per dimostrarlo.
Qualcuno mi sa aiutare?
Risposte
Prova a prendere due rettangoli che soddisfano le caratteristiche richieste, diciamo $R,\ R'$. Allora quanto vale, rispettivamente, l'integrale su tali rettangoli, per definizione?
È qui che mi blocco, non saprei.
Prova a riscrivere tutta la roba che hai scritto prima sostituendo $R$ con $R'$ e vedi un po' cosa ne esce fuori...
Se \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \) è un insieme limitato, l'integrale multiplo di una funzione \( f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) limitata si definisce scegliendo un rettangolo \( R' \) contenente \( \Omega \) e definendo la funzione \( \tilde{f} \) come
\[ \tilde{f}(\mathbf{x}) = \cases{f(\mathbf{x}) & \text{se } \mathbf{x} \in \Omega \\ 0 & \text{se } \mathbf{x} \in R' \setminus \Omega} \]
A questo punto, si dice che \( f \) è integrabile su \( \Omega \) se e solo se \( \tilde{f} \) è integrabile su \( R' \) e si pone per definizione
\[ \int_{\Omega} f(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} = \int_{R'} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \]
Quindi \( f \) è integrabile su \( \Omega \) se e solo se \( \tilde{f} \) è integrabile sia in \( R \) che in \( R' \) e deve valere in tal caso l'uguaglianza
\[ \int_R \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} = \int_{R'} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \]
Fin qua va bene? Poi che faccio?
\[ \tilde{f}(\mathbf{x}) = \cases{f(\mathbf{x}) & \text{se } \mathbf{x} \in \Omega \\ 0 & \text{se } \mathbf{x} \in R' \setminus \Omega} \]
A questo punto, si dice che \( f \) è integrabile su \( \Omega \) se e solo se \( \tilde{f} \) è integrabile su \( R' \) e si pone per definizione
\[ \int_{\Omega} f(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} = \int_{R'} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \]
Quindi \( f \) è integrabile su \( \Omega \) se e solo se \( \tilde{f} \) è integrabile sia in \( R \) che in \( R' \) e deve valere in tal caso l'uguaglianza
\[ \int_R \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} = \int_{R'} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \]
Fin qua va bene? Poi che faccio?
E cos'altro vuoi fare? hai appena scritto che gli integrali definiti su qualsiasi rettangolo coincidono. Questo cosa implica?
In effetti non mi sembra che quello dimostri nulla. D’altra parte l'intersezione di due intervalli è un intervallo, diciamo \(I\). Quindi:
\begin{align} \int_R \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} &= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R\setminus I} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R\setminus I} \mathbf{0}\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R'\setminus I} \mathbf{0}\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R'\setminus I} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_{R'} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \end{align}
Usando il fatto che \(\displaystyle (R\setminus I)\cap \Omega = (R'\setminus I)\cap \Omega = \emptyset \).
\begin{align} \int_R \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} &= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R\setminus I} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R\setminus I} \mathbf{0}\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R'\setminus I} \mathbf{0}\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_I \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} + \int_{R'\setminus I} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \\
&= \int_{R'} \tilde{f}(\mathbf{x})\, {\rm d} \mathbf{x} \end{align}
Usando il fatto che \(\displaystyle (R\setminus I)\cap \Omega = (R'\setminus I)\cap \Omega = \emptyset \).
Faccio una precisazione.
La domanda che ho fatto all'inizio di questo thread va unita all'ipotesi che io conosco solo la definizione di integrale multiplo su un rettangolo, intendendo tale integrale come l'unico elemento separatore degli insiemi delle somme superiori e somme inferiori rispetto ad una qualunque decomposizione del rettangolo.
Stando così le cose, mi sembra che l'approccio di vict85 non sia più valido, perché la proprietà dell'integrale che ha utilizzato ancora non è stata dimostrata.
Il fatto è che io vorrei verificare quella indipendenza dai rettangoli prima di dire che cos'è l'integrale su un insieme limitato contenuto nei rettangoli.
La domanda che ho fatto all'inizio di questo thread va unita all'ipotesi che io conosco solo la definizione di integrale multiplo su un rettangolo, intendendo tale integrale come l'unico elemento separatore degli insiemi delle somme superiori e somme inferiori rispetto ad una qualunque decomposizione del rettangolo.
Stando così le cose, mi sembra che l'approccio di vict85 non sia più valido, perché la proprietà dell'integrale che ha utilizzato ancora non è stata dimostrata.
Il fatto è che io vorrei verificare quella indipendenza dai rettangoli prima di dire che cos'è l'integrale su un insieme limitato contenuto nei rettangoli.
Tra l'altro mi sono accorto di un errore: \(R\setminus I\) non è in genere un rettangolo. La dimostrazione può seguire questo approccio ma è più macchinosa.
Allora puoi procedere così.
Chiami plurirettangolo un insieme \(P\) che si ottiene come unione di rettangoli \(R_1,\ldots, R_n\) non aventi punti interni in comune e chiami integrale di \(f\) esteso a \(P\) la somma dei vari integrali di \(f\) estesi agli \(R_k\):
\[
\int_P f := \sum_{k=1}^n \int_{R_k} f\; .
\]
Fatto ciò dimostri che se \(P\) si può scrivere in più modi come unione di rettangoli con interni a due a due disgiunti, i.e. se \(P=\bigcup_{k=1}^n R_k\) e \(P=\bigcup_{h=1}^m R_h^\prime \), allora:
\[
\sum_{k=1}^n \int_{R_k} f = \sum_{h=1}^m \int_{R_h^\prime} f
\]
quindi \(\int_P f\) è indipendente dalla scelta della decomposizione di \(P\) in rettangolini; che l'integrale è additivo, etc...
Ora, noti che, per ogni coppia di rettangoli \(R\) ed \(R^\prime\), gli insiemi \(R\Delta R^\prime\) (\(\Delta\) è la differenza simmetrica, i.e. \(R\Delta R^\prime = (R\cup R^\prime)\setminus (R\cap R^\prime)\)) e \(R\cup R^\prime\) sono plurirettangoli e perciò sai dare significato a \(\int_{R\Delta R^\prime} f\) e \(\int_{R\cup R^\prime} f\).
A questo punto un ragionamento simile a quello di vict85 funziona e mostra che:
\[
\int_R f + \int_{R\Delta R^\prime} f = \int_{R\cup R^\prime} f = \int_{R^\prime} f + \int_{R\Delta R^\prime} f
\]
da cui l'asserto.
Chiami plurirettangolo un insieme \(P\) che si ottiene come unione di rettangoli \(R_1,\ldots, R_n\) non aventi punti interni in comune e chiami integrale di \(f\) esteso a \(P\) la somma dei vari integrali di \(f\) estesi agli \(R_k\):
\[
\int_P f := \sum_{k=1}^n \int_{R_k} f\; .
\]
Fatto ciò dimostri che se \(P\) si può scrivere in più modi come unione di rettangoli con interni a due a due disgiunti, i.e. se \(P=\bigcup_{k=1}^n R_k\) e \(P=\bigcup_{h=1}^m R_h^\prime \), allora:
\[
\sum_{k=1}^n \int_{R_k} f = \sum_{h=1}^m \int_{R_h^\prime} f
\]
quindi \(\int_P f\) è indipendente dalla scelta della decomposizione di \(P\) in rettangolini; che l'integrale è additivo, etc...
Ora, noti che, per ogni coppia di rettangoli \(R\) ed \(R^\prime\), gli insiemi \(R\Delta R^\prime\) (\(\Delta\) è la differenza simmetrica, i.e. \(R\Delta R^\prime = (R\cup R^\prime)\setminus (R\cap R^\prime)\)) e \(R\cup R^\prime\) sono plurirettangoli e perciò sai dare significato a \(\int_{R\Delta R^\prime} f\) e \(\int_{R\cup R^\prime} f\).
A questo punto un ragionamento simile a quello di vict85 funziona e mostra che:
\[
\int_R f + \int_{R\Delta R^\prime} f = \int_{R\cup R^\prime} f = \int_{R^\prime} f + \int_{R\Delta R^\prime} f
\]
da cui l'asserto.
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