Indici delle successioni
Ciao,
Ho un dubbio su come si "usano" gli indici nelle successioni.
Supponiamo di avere la successione $(a_n)$. Essendo le successioni, funzioni $f: NN rightarrow RR$, posso valutare la successione solo per numeri naturali.
Ora supponiamo di prendere la successione $(a_(n-1))$. La regola di associazione è la stessa nei due casi.
In questo caso cosa succede agli indici? Ad esempio, posso prendere $n=0$, andando a valutare la successione in $-1$? Oppure devo adeguare gli indici in modo da valutarla sempre per numeri naturali?
Ho un dubbio su come si "usano" gli indici nelle successioni.
Supponiamo di avere la successione $(a_n)$. Essendo le successioni, funzioni $f: NN rightarrow RR$, posso valutare la successione solo per numeri naturali.
Ora supponiamo di prendere la successione $(a_(n-1))$. La regola di associazione è la stessa nei due casi.
In questo caso cosa succede agli indici? Ad esempio, posso prendere $n=0$, andando a valutare la successione in $-1$? Oppure devo adeguare gli indici in modo da valutarla sempre per numeri naturali?
Risposte
Una "successione in $A$" è semplicemente una funzione \(a : \mathbb N\to A\); la successione shiftata di $k$ è semplicemente la precomposizione di $a$ con l'inclusione \(\mathbb N \setminus\{0,1,\dots,k-1\}\hookrightarrow \mathbb N\).
Non mi è chiaro. Provo a riformulare la domanda:
Se $(a_n)$ significa $a : n rightarrow a(n)$
$(a_(n-1))$ cosa significa? $a: n-1 rightarrow a(n-1)$ oppure $a: n rightarrow a(n-1)$
E $n$ nel secondo caso può essere $0$ oppure deve partire da $1$?
Grazie in anticipo
Se $(a_n)$ significa $a : n rightarrow a(n)$
$(a_(n-1))$ cosa significa? $a: n-1 rightarrow a(n-1)$ oppure $a: n rightarrow a(n-1)$
E $n$ nel secondo caso può essere $0$ oppure deve partire da $1$?
Grazie in anticipo
Le spiegazioni rigorose non sono mai chiare, devi pensarci.
Se $a_n$ significa $n\mapsto a_n$, $a_{n-1}$ significa che la funzione $a : NN \to A$ viene precomposta con l'inclusione di \(\mathbb N_{\ge 1}\) in $NN$, ottenendo che $n$, preso dall'insieme \(\{1,2,3,\dots\}\), viene mandato in $a_{n-1}$. In particolare, la successione è la stessa (cioè assume gli stessi valori, sebbene su indici diversi) a meno dell'ovvia biiezione che esiste tra \(\mathbb N_{\ge 1}\) e $NN$.
Tutt'altra cosa, invece, se cerchi di definire $a_{n+1}$! In quel caso la successione $a$ perde un elemento, e diventa \((a_1,a_2,\dots)\).
Se $a_n$ significa $n\mapsto a_n$, $a_{n-1}$ significa che la funzione $a : NN \to A$ viene precomposta con l'inclusione di \(\mathbb N_{\ge 1}\) in $NN$, ottenendo che $n$, preso dall'insieme \(\{1,2,3,\dots\}\), viene mandato in $a_{n-1}$. In particolare, la successione è la stessa (cioè assume gli stessi valori, sebbene su indici diversi) a meno dell'ovvia biiezione che esiste tra \(\mathbb N_{\ge 1}\) e $NN$.
Tutt'altra cosa, invece, se cerchi di definire $a_{n+1}$! In quel caso la successione $a$ perde un elemento, e diventa \((a_1,a_2,\dots)\).
Sarebbe tutto più facile se scrivessi
\[
b_n:=a_{n-1}.\]
E adesso ragionare sulla successione \((b_n)_{n\ge 1}\). Qui chiaramente suppongo che \(a_0\) sia definita.
È esattamente la stessa cosa che traslare una funzione di variabile reale: se \(f\colon I\to \mathbb R\), allora la funzione
\[
g(x):=f(x-h), \]
è definita su \(I+h=\{x+h\ :\ x\in I\}\).
Ripeto: quando si ha qualche dubbio su queste trasformazioni funzionali, ed è facile averne, sempre meglio introdurre un simbolo nuovo. Questo è un punto di vista diverso da quello di KB, più "pratico", mi sono spesso trovato in confusione nel fare questi ragionamenti di simmetria, specialmente nello studio delle equazioni differenziali.
\[
b_n:=a_{n-1}.\]
E adesso ragionare sulla successione \((b_n)_{n\ge 1}\). Qui chiaramente suppongo che \(a_0\) sia definita.
È esattamente la stessa cosa che traslare una funzione di variabile reale: se \(f\colon I\to \mathbb R\), allora la funzione
\[
g(x):=f(x-h), \]
è definita su \(I+h=\{x+h\ :\ x\in I\}\).
Ripeto: quando si ha qualche dubbio su queste trasformazioni funzionali, ed è facile averne, sempre meglio introdurre un simbolo nuovo. Questo è un punto di vista diverso da quello di KB, più "pratico", mi sono spesso trovato in confusione nel fare questi ragionamenti di simmetria, specialmente nello studio delle equazioni differenziali.
Vediamo se ho capito:
Per semplicità consideriamo una successione $a_n$ definita su tutto $NN$.
Posso quindi calcolare $a_0$ sostituendo $n=0$ nella "legge".
Allora, se ho capito bene, considerando $b_n=a_(n-1)$, questa nuova successione non è definita per $n=0$, perché significherebbe voler associare a quell' indice $a_-1$, che però non è definito. Insomma in generale devo prendere un indice $n>=0$ e andargli ad associare, se esiste, $a_(n-1)$, e ancora più in generale $a_(v(n))$. Giusto?
La difficoltà credo fosse l'essere abituato molto alle funzioni e quasi niente alle successioni (pur essendo queste funzioni), quindi non "vedevo" il problema di calcolare $a_-1$...Basta sostituire $-1$ al posto di $n$
Grazie
Per semplicità consideriamo una successione $a_n$ definita su tutto $NN$.
Posso quindi calcolare $a_0$ sostituendo $n=0$ nella "legge".
Allora, se ho capito bene, considerando $b_n=a_(n-1)$, questa nuova successione non è definita per $n=0$, perché significherebbe voler associare a quell' indice $a_-1$, che però non è definito. Insomma in generale devo prendere un indice $n>=0$ e andargli ad associare, se esiste, $a_(n-1)$, e ancora più in generale $a_(v(n))$. Giusto?
La difficoltà credo fosse l'essere abituato molto alle funzioni e quasi niente alle successioni (pur essendo queste funzioni), quindi non "vedevo" il problema di calcolare $a_-1$...Basta sostituire $-1$ al posto di $n$
Grazie
Quanti cadaveri lascia sul terreno la serie geometrica... 
Gli indici si usano usando la testa e cercando di evitare ambiguità, come sempre in Matematica (ed altrove nelle Scienze).
D'altra parte, se n'era già parlato poco tempo fa in un thread (questo) in cui ti esortavo, prima di porre la domanda, a chiarire sempre bene qual è l'insieme dove variano gli indici.
Per chiarire le cose, diciamo che $\mathbf{a}=(a_n)_(n in NN)$ con $NN=\{0,1,2,3,..., n,...\}$ (esplicito il fatto che $0 in NN$, perché a molti algebristi ciò non piace molto).
In questo caso, usando una notazione estesa, si può scrivere $\mathbf{a}=(a_0,a_1,a_2,...a_n,...)$.
Per estrarre una sottosuccessione $\mathbf{b}$ da $\mathbf{a}$ bisogna, a norma della definizione, scegliere una successione di indici $(n_k)_{k in NN}$ strettamente crescente fatta da numeri naturali: ciò significa che deve risultare :
\[
\tag{SI} \forall k \in \mathbb{N},\quad \begin{cases} n_k \in \mathbb{N} \\ n_k < n_{k+1} \end{cases}\; .
\]
Vediamo cosa succede in qualche caso di interesse:
\[
\begin{split}
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k+1)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_2,a_3,\ldots , a_{k+1},\ldots )\quad \text{(backshift di un posto)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k+2)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_2,a_3,a_4,\ldots , a_{k+2},\ldots )\quad \text{(backshift di due posti)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (2k)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_0,a_2,a_4,\ldots , a_{2k},\ldots )\quad \text{(estratta posti pari)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (2k+1)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_3,a_5,\ldots , a_{2k+1},\ldots )\quad \text{(estratta posti dispari)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k^2)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_0,a_1,a_4,\ldots , a_{k^2},\ldots )\quad \text{(estratta posti quadrati)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k^3)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_0,a_1,a_8,\ldots , a_{k^3},\ldots )\quad \text{(estratta posti cubi)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (2^k)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_2,a_4,\ldots , a_{2^k},\ldots )\quad \text{(estratta posti potenze di \(2\))}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (3^k)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_3,a_9,\ldots , a_{3^k},\ldots )\quad \text{(estratta posti potenze di \(3\))}\ldots
\end{split}
\]
Le successioni di indici usate per estrarre da $mathbf(a)$ soddisfano tutte le proprietà (SI) per note proprietà elementari delle funzioni elementari.
La tua domanda, in soldoni, ammonta a chiedere:
e la risposta è: No.
Infatti, per $k=0$ si ha $n_0=0-1=-1 \notin NN$ e dunque $(n_k)$ non soddisfa la prima proprietà delle successioni di indici (SI) usate per determinare una sottosuccessione.
Analogamente, ad esempio, la successione dei fattoriali $(n_k)_(k in NN) = (k!)_(k in NN)$ non può essere usata come successione di indici per estrarre sottosuccessioni.
Infatti, essa non soddisfa la seconda delle proprietà (SI) delle successioni di indici, in quanto per $k=0$ risulta \(n_0 = 0! = 1 = 1! = n_{0+1}\) e perciò $(n_k)$ non è strettamente crescente.
***
Cosa diversa, invece, è chiedersi se, assegnate due successioni differenti $mathbf{a}=(a_n)_(n in NN)$ e $mathbf{b}=(b_n)_(n in NN)$, una delle due è una sottosuccessione dell'altra.
Questo problema ammonta a chiedere:
Analizziamo questo problema con le successioni già presenti nell'altro thread, cioè $mathbf{a}=(q^n)_(n in NN)$ e $mathbf(b) = (q^(n-1))_(n in NN)$, in cui $q in RR \setminus \{0,1\}$ (i valori $0$ ed $1$ sono esclusi per evitare casi banali o "scomodi").
Scriviamo i primi elementi delle successioni una tabella:
\[
\begin{matrix}
n &= & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots\\
\mathbf{a} &= & q^0 & q^1 & q^2 & q^3 & q^4 & q^5 & \cdots \\
\mathbf{b} &= & q^{-1} & q^0 & q^1 & q^2 & q^3 & q^4 & \cdots
\end{matrix}
\]
ed osserviamo che ogni elemento presente in $mathbf(a)$ è presente anche in $mathbf(b)$, seppure "traslato" in avanti di una posizione per "fare spazio" al primo termine di $mathbf(b)$, cioè $q^(-1)$.
Pertanto $mathbf(a)$ sembra estratta da $mathbf(b)$.
Per mostrare che $mathbf(a)$ è effettivamente estratta da $mathbf(b)$, però, dobbiamo determinare la successione di indici $(n_k)_(k in NN)$ che serve per selezionare gli elementi giusti di $mathbf(b)$ e posizionarli nell'ordine giusto in $mathbf(a)$.
Aggiungendo qualche freccia alla tabella precedente troviamo:
\[
\begin{matrix}
n &= & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & 4 & & 5 & \cdots\\
\mathbf{a} &= & q^0 & & q^1 & & q^2 & & q^3 & & q^4 & & q^5 & \cdots \\
& & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \cdots\\
\mathbf{b} &= & q^{-1} & & q^0 & & q^1 & & q^2 & & q^3 & & q^4 & \cdots
\end{matrix}
\]
il che ci fa capire che per posizionare i termini di $mathbf(b)$ in $mathbf(a)$ correttamente basta operare un backshift dell'indice, i.e. considerare come successione di indici la $(n_k)_(k in NN) = (k+1)_(k in NN)$.
Ed infatti, facendo due calcoletti, si trova:
\[
\forall k \in \mathbb{N},\quad b_{n_k} = q^{n_k -1} = q^{(k+1)-1} = q^k = a_k\; .
\]
Gli indici si usano usando la testa e cercando di evitare ambiguità, come sempre in Matematica (ed altrove nelle Scienze).
D'altra parte, se n'era già parlato poco tempo fa in un thread (questo) in cui ti esortavo, prima di porre la domanda, a chiarire sempre bene qual è l'insieme dove variano gli indici.
Per chiarire le cose, diciamo che $\mathbf{a}=(a_n)_(n in NN)$ con $NN=\{0,1,2,3,..., n,...\}$ (esplicito il fatto che $0 in NN$, perché a molti algebristi ciò non piace molto).
In questo caso, usando una notazione estesa, si può scrivere $\mathbf{a}=(a_0,a_1,a_2,...a_n,...)$.
Per estrarre una sottosuccessione $\mathbf{b}$ da $\mathbf{a}$ bisogna, a norma della definizione, scegliere una successione di indici $(n_k)_{k in NN}$ strettamente crescente fatta da numeri naturali: ciò significa che deve risultare :
\[
\tag{SI} \forall k \in \mathbb{N},\quad \begin{cases} n_k \in \mathbb{N} \\ n_k < n_{k+1} \end{cases}\; .
\]
Vediamo cosa succede in qualche caso di interesse:
\[
\begin{split}
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k+1)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_2,a_3,\ldots , a_{k+1},\ldots )\quad \text{(backshift di un posto)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k+2)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_2,a_3,a_4,\ldots , a_{k+2},\ldots )\quad \text{(backshift di due posti)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (2k)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_0,a_2,a_4,\ldots , a_{2k},\ldots )\quad \text{(estratta posti pari)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (2k+1)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_3,a_5,\ldots , a_{2k+1},\ldots )\quad \text{(estratta posti dispari)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k^2)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_0,a_1,a_4,\ldots , a_{k^2},\ldots )\quad \text{(estratta posti quadrati)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (k^3)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_0,a_1,a_8,\ldots , a_{k^3},\ldots )\quad \text{(estratta posti cubi)}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (2^k)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_2,a_4,\ldots , a_{2^k},\ldots )\quad \text{(estratta posti potenze di \(2\))}\\
(n_k)_{k \in \mathbb{N}} = (3^k)_{k \in \mathbb{N}} \qquad &\rightarrow\qquad \mathbf{b}=(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} = (a_1,a_3,a_9,\ldots , a_{3^k},\ldots )\quad \text{(estratta posti potenze di \(3\))}\ldots
\end{split}
\]
Le successioni di indici usate per estrarre da $mathbf(a)$ soddisfano tutte le proprietà (SI) per note proprietà elementari delle funzioni elementari.
La tua domanda, in soldoni, ammonta a chiedere:
La successione di indici $(n_k)_(k in NN)=(k-1)_(k \in NN)$ è una successione di indici tali da determinare un'estratta da $\mathbf{a}$?
e la risposta è: No.
Infatti, per $k=0$ si ha $n_0=0-1=-1 \notin NN$ e dunque $(n_k)$ non soddisfa la prima proprietà delle successioni di indici (SI) usate per determinare una sottosuccessione.
Analogamente, ad esempio, la successione dei fattoriali $(n_k)_(k in NN) = (k!)_(k in NN)$ non può essere usata come successione di indici per estrarre sottosuccessioni.
Infatti, essa non soddisfa la seconda delle proprietà (SI) delle successioni di indici, in quanto per $k=0$ risulta \(n_0 = 0! = 1 = 1! = n_{0+1}\) e perciò $(n_k)$ non è strettamente crescente.
***
Cosa diversa, invece, è chiedersi se, assegnate due successioni differenti $mathbf{a}=(a_n)_(n in NN)$ e $mathbf{b}=(b_n)_(n in NN)$, una delle due è una sottosuccessione dell'altra.
Questo problema ammonta a chiedere:
Esiste una successione $(n_k)_(k in NN)$ di indici che soddisfa le (SI) e tale che risulti:
\[
\forall k \in \mathbb{N},\quad a_{n_k}=b_k\ \text{(\(\mathbf{b}\) estratta da \(\mathbf{a}\))}\qquad \text{oppure}\qquad \forall k \in \mathbb{N},\quad b_{n_k}=a_k\ \text{(\(\mathbf{a}\) estratta da \(\mathbf{b}\))}\; ?
\]
Analizziamo questo problema con le successioni già presenti nell'altro thread, cioè $mathbf{a}=(q^n)_(n in NN)$ e $mathbf(b) = (q^(n-1))_(n in NN)$, in cui $q in RR \setminus \{0,1\}$ (i valori $0$ ed $1$ sono esclusi per evitare casi banali o "scomodi").
Scriviamo i primi elementi delle successioni una tabella:
\[
\begin{matrix}
n &= & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots\\
\mathbf{a} &= & q^0 & q^1 & q^2 & q^3 & q^4 & q^5 & \cdots \\
\mathbf{b} &= & q^{-1} & q^0 & q^1 & q^2 & q^3 & q^4 & \cdots
\end{matrix}
\]
ed osserviamo che ogni elemento presente in $mathbf(a)$ è presente anche in $mathbf(b)$, seppure "traslato" in avanti di una posizione per "fare spazio" al primo termine di $mathbf(b)$, cioè $q^(-1)$.
Pertanto $mathbf(a)$ sembra estratta da $mathbf(b)$.
Per mostrare che $mathbf(a)$ è effettivamente estratta da $mathbf(b)$, però, dobbiamo determinare la successione di indici $(n_k)_(k in NN)$ che serve per selezionare gli elementi giusti di $mathbf(b)$ e posizionarli nell'ordine giusto in $mathbf(a)$.
Aggiungendo qualche freccia alla tabella precedente troviamo:
\[
\begin{matrix}
n &= & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & 4 & & 5 & \cdots\\
\mathbf{a} &= & q^0 & & q^1 & & q^2 & & q^3 & & q^4 & & q^5 & \cdots \\
& & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \color{red}{\nwarrow} & & \cdots\\
\mathbf{b} &= & q^{-1} & & q^0 & & q^1 & & q^2 & & q^3 & & q^4 & \cdots
\end{matrix}
\]
il che ci fa capire che per posizionare i termini di $mathbf(b)$ in $mathbf(a)$ correttamente basta operare un backshift dell'indice, i.e. considerare come successione di indici la $(n_k)_(k in NN) = (k+1)_(k in NN)$.
Ed infatti, facendo due calcoletti, si trova:
\[
\forall k \in \mathbb{N},\quad b_{n_k} = q^{n_k -1} = q^{(k+1)-1} = q^k = a_k\; .
\]
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