Indici delle serie numeriche
Ciao ragazzi volevo chiedere una cosa. Studiando le serie numeriche mi sono reso conto che a volte l'indice n parte da 0 altre da 1. Ad esempio nel mio testo (Bramanti Pagani Salsa, Analisi matematica 1) la serie numerica generica viene definita in questo modo $ sum_(n=0)^( \oo)a_n $ e la serie geometrica in questo $ sum_(n=0)^( \oo)q^n $ poi nella dimostrazione del criterio del confronto ad esempio trovo questa nomenclatura $ sum_(n=1)^( \oo)a_n $ o anche nella serie armonica o mengoli il termine n parte da 1. Da cosa dipende?
Risposte
prova a calcolare il primo termine della serie $sum_(n=0)^(infty)1/n$ oppure $sum_(n=0)^(infty)1/(n(n+1))$
Touchè e che mi sai dire riguardo esempi generici come nella dimostrazione del criterio del confronto del mio testo? Da che dipende?
I libri di scuola superiore che contengono le serie le fanno partire sempre da 1, ma io ho studiato sul Prodi che, quando era possibile, le faceva partire da 0 e devo stare attenta a non fare confusione. È un falso problema, basta adattarsi.
Devi confrontare due serie, una che parte da $0$ e l'altra da $1$?, nella prima scorpori il primo termine e le fai partire entrambe da $1$, oppure nella seconda sostituisci $n$ con $n+1$ e le fai partire entrambe da $0$.
$sum_(n=1)^(infty)1/n = sum_(n=0)^(infty)1/(n+1)$
Devi confrontare due serie, una che parte da $0$ e l'altra da $1$?, nella prima scorpori il primo termine e le fai partire entrambe da $1$, oppure nella seconda sostituisci $n$ con $n+1$ e le fai partire entrambe da $0$.
$sum_(n=1)^(infty)1/n = sum_(n=0)^(infty)1/(n+1)$
In aggiunta vorrei dire he una qualsiasi serie più farla partire da dove vuoi(facendo dovute considerazioni obv). Tipo la serie geometrica può anche essere scritta come
Naturalmente l'indice puoi anche decidere di spostarlo. La successione deve aver senso nel punto in cui la vuoi far partire. Supponiamo che la successione ammetta $a_0,a_1,...,a_(n_0-1)$
$sum_(n=0)^(n_0-1)a_n+sum_(n=n_0)^(infty)a_n-sum_(n=0)^(n_0-1)a_n$
nota che la somma delle due sommatorie è la seguente:
$[a_0+a_1+...+a_(n_0-1)]+[a_(n_0)+a_(n_0+1)+....]=sum_(n=0)^(infty)a_n$
Dunque si può dire che $sum_(n=n_0)^(infty)a_n=sum_(n=0)^(infty)a_n-sum_(n=0)^(n_0-1)a_n$
Il concetto si può estendere al considerare come partenza un $m_0
Inoltre ci sono serie che farle partire da $0$ oppure da $1$ non fa alcuna differenza. Considera la serie dei numeri naturali:
$0+1+2+3+...=1+2+3+...$ ovvero $sum_(n=0)^(infty)n=sum_(n=1)^(infty)n$
Anche le ridotte sono uguali.
$sum_(n=n_0)^(infty)a_n,n_0inNN$
Naturalmente l'indice puoi anche decidere di spostarlo. La successione deve aver senso nel punto in cui la vuoi far partire. Supponiamo che la successione ammetta $a_0,a_1,...,a_(n_0-1)$
$sum_(n=0)^(n_0-1)a_n+sum_(n=n_0)^(infty)a_n-sum_(n=0)^(n_0-1)a_n$
nota che la somma delle due sommatorie è la seguente:
$[a_0+a_1+...+a_(n_0-1)]+[a_(n_0)+a_(n_0+1)+....]=sum_(n=0)^(infty)a_n$
Dunque si può dire che $sum_(n=n_0)^(infty)a_n=sum_(n=0)^(infty)a_n-sum_(n=0)^(n_0-1)a_n$
Il concetto si può estendere al considerare come partenza un $m_0
Inoltre ci sono serie che farle partire da $0$ oppure da $1$ non fa alcuna differenza. Considera la serie dei numeri naturali:
$0+1+2+3+...=1+2+3+...$ ovvero $sum_(n=0)^(infty)n=sum_(n=1)^(infty)n$
Anche le ridotte sono uguali.
Perfetto..Grazie ragazzi!
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