Indicare il codominio, precisando se è convesso
salve ragazzi, mi scuso in anticipito se non è la sessione esatta in cui postare la mia domanda. come scritto nel titolo, l'esercizio mi chiede di calcolare il codominio e precisare se è convesso della seguente funzione $f(x)=(e^(x-2))/(4-x^2)$.
Il procedimento che faccio è quello di esplicitare la x e poi calcolarmi una sorta di "dominio" della funzione trovata, pero in questo caso mi blocco proprio nei passaggi algebrici, cioè non capisco come fare ad isolarmi la x. Inoltre non capisco come fare a dire che il codominio è convesso. Se poteste spiegarmi come fare ve ne sarei grato.
Il procedimento che faccio è quello di esplicitare la x e poi calcolarmi una sorta di "dominio" della funzione trovata, pero in questo caso mi blocco proprio nei passaggi algebrici, cioè non capisco come fare ad isolarmi la x. Inoltre non capisco come fare a dire che il codominio è convesso. Se poteste spiegarmi come fare ve ne sarei grato.
Risposte
Ciao! La domanda in sé potrebbe avere poco senso: il codominio non è un insieme da trovare, quanto più è uno dei tre enti matematici che devono essere dati nel momento in cui si definisce una funzione.
Quindi credo che l'autore (o tu) intendesse: "Trovare l'immagine della funzione $f$." (alcuni autori chiamano l'immagine, ossia l'insieme dei valori assunti dalla funzione a partire da un sottoinsieme dato del suo dominio naturale, codominio).
Venendo all'esercizio, non sempre è possibile determinare esplicitamente una variabile in funzione dell'altra: puoi cercare di determinare l'immagine di $f$ (a questo punto, assumo sia richiesta l'immagine del suo dominio naturale visto che non è specificato diversamente) utilizzando gli strumenti dell'analisi, ad esempio la continuità, il teorema dei valori intermedi, il calcolo differenziale.
Quindi credo che l'autore (o tu) intendesse: "Trovare l'immagine della funzione $f$." (alcuni autori chiamano l'immagine, ossia l'insieme dei valori assunti dalla funzione a partire da un sottoinsieme dato del suo dominio naturale, codominio).
Venendo all'esercizio, non sempre è possibile determinare esplicitamente una variabile in funzione dell'altra: puoi cercare di determinare l'immagine di $f$ (a questo punto, assumo sia richiesta l'immagine del suo dominio naturale visto che non è specificato diversamente) utilizzando gli strumenti dell'analisi, ad esempio la continuità, il teorema dei valori intermedi, il calcolo differenziale.
Hint: I convessi di [tex]\mathbb{R}[/tex] sono precisamente gli intervalli, eventualmente degeneri.
"Mephlip":
Ciao! La domanda in sé potrebbe avere poco senso: il codominio non è un insieme da trovare, quanto più è uno dei tre enti matematici che devono essere dati nel momento in cui si definisce una funzione.
Quindi credo che l'autore (o tu) intendesse: "Trovare l'immagine della funzione $f$." (alcuni autori chiamano l'immagine, ossia l'insieme dei valori assunti dalla funzione a partire da un sottoinsieme dato del suo dominio naturale, codominio).
Venendo all'esercizio, non sempre è possibile determinare esplicitamente una variabile in funzione dell'altra: puoi cercare di determinare l'immagine di $f$ (a questo punto, assumo sia richiesta l'immagine del suo dominio naturale visto che non è specificato diversamente) utilizzando gli strumenti dell'analisi, ad esempio la continuità, il teorema dei valori intermedi, il calcolo differenziale.
In pratica il testo di esame dice cosi: Data la funzione di una variabile f(x)=... 1)disegnare il grafico;
2)indicare il codominio precisando se è convesso;
3) indicare massimi e minimi;
4)stabilire qual è il piu grande intervallo contenente 8 in cui la funzione è invertibile.
I punti 1 e 3 li so fare, ma per il punto 2 e 4 non ne ho la piu pallida idea.
Comunque grazie le stesso per la risposta.
Quali sono i valori assunti dalla funzione leggendo il grafico qualitativo che hai fatto dopo aver calcolato i punti stazionari e i limiti agli estremi del dominio naturale?
Prego! Oltre ai suggerimenti già dati da 413, per il punto (4) suggerisco di tenere a mente la relazione che c'è tra invertibilità e stretta monotonia.
Il codominio, come correttamente detto da Mephlip, potrebbe essere qualsiasi insieme che contiene l'immagine ed è parte della definizione della funzione stessa. Insomma, non va calcolato. A rigore, non andrebbe calcolato neanche il dominio, infatti anch'esso fa parte della definizione della funzione, ma risulta utile capire le condizioni di esistenza delle funzioni e quindi i primi corsi di analisi fanno finta che il dominio sia qualcosa da trovare e non qualcosa di già dato.
Tu hai una funzione del tipo \(f = \frac{g}{h}\) e vuoi capire l'immagine.
Ora, \(g\) ha come immagine \(\mathbb{R}^+\) (l'insieme dei reali positivi) e non impone alcuna condizione di esistenza. Il fatto che \(g(x)\neq 0\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\) vuol dire che \(f(x) \neq 0\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\). Insomma \(0\) non appartiene all'immagine.
Come usuale, la funzione \(f\) è definita solo per \(h(x)\neq 0\). Ovvero, la funzione non è definita per \(x \in \{-2, 2\}\), è negativa per \(x\le -2\) e \(x\ge 2\) e positiva tra \(-2\) e \(2\). Calcolando massimi, minimi e i vari limiti dei tre intervalli puoi identificare l'esatta immagine.
Quello che appare evidente graficamente è che avvicinandosi a \(-2\) e \(2\) la funzione tende a \(\pm \infty\) e che il limite di \(f\) per \(-\infty\) è uguale a \(0\). Pertanto, l'immagine avrà verosimilmente la forma \((-\infty, 0) \cup [a, \infty)\) dove \(a\) è il minimo di \(f\) tra \(-2\) e \(2\).
Per la non convessità era comunque sufficiente usare il fatto che conteneva elementi positivi e negativi e 0 non era incluso.
Tu hai una funzione del tipo \(f = \frac{g}{h}\) e vuoi capire l'immagine.
Ora, \(g\) ha come immagine \(\mathbb{R}^+\) (l'insieme dei reali positivi) e non impone alcuna condizione di esistenza. Il fatto che \(g(x)\neq 0\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\) vuol dire che \(f(x) \neq 0\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\). Insomma \(0\) non appartiene all'immagine.
Come usuale, la funzione \(f\) è definita solo per \(h(x)\neq 0\). Ovvero, la funzione non è definita per \(x \in \{-2, 2\}\), è negativa per \(x\le -2\) e \(x\ge 2\) e positiva tra \(-2\) e \(2\). Calcolando massimi, minimi e i vari limiti dei tre intervalli puoi identificare l'esatta immagine.
Quello che appare evidente graficamente è che avvicinandosi a \(-2\) e \(2\) la funzione tende a \(\pm \infty\) e che il limite di \(f\) per \(-\infty\) è uguale a \(0\). Pertanto, l'immagine avrà verosimilmente la forma \((-\infty, 0) \cup [a, \infty)\) dove \(a\) è il minimo di \(f\) tra \(-2\) e \(2\).
Per la non convessità era comunque sufficiente usare il fatto che conteneva elementi positivi e negativi e 0 non era incluso.
"413":
Quali sono i valori assunti dalla funzione leggendo il grafico qualitativo che hai fatto dopo aver calcolato i punti stazionari e i limiti agli estremi del dominio naturale?
allora facendo tutto lo studio di funzione mi rendo conto che riesco a determinare l'immagine osservando il grafico e mi trovo col "risultato" che sarebbe:
Cod(f)= )-oo; 0( U ( (e^(-1-rad5))/(4-x^2); +oo(. Per quanto riguarda i limiti agli estremi per x che tende a +oo la funzione assume valore -oo, mentre per x che tende a -oo la funzione assume valore zero. Come punto stazionario ho trovato x=0 ponendo f'(x)=0. Ora come capisco se è convesso?
"vict85":
Il codominio, come correttamente detto da Mephlip, potrebbe essere qualsiasi insieme che contiene l'immagine ed è parte della definizione della funzione stessa. Insomma, non va calcolato. A rigore, non andrebbe calcolato neanche il dominio, infatti anch'esso fa parte della definizione della funzione, ma risulta utile capire le condizioni di esistenza delle funzioni e quindi i primi corsi di analisi fanno finta che il dominio sia qualcosa da trovare e non qualcosa di già dato.
Tu hai una funzione del tipo \(f = \frac{g}{h}\) e vuoi capire l'immagine.
Ora, \(g\) ha come immagine \(\mathbb{R}^+\) (l'insieme dei reali positivi) e non impone alcuna condizione di esistenza. Il fatto che \(g(x)\neq 0\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\) vuol dire che \(f(x) \neq 0\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\). Insomma \(0\) non appartiene all'immagine.
Come usuale, la funzione \(f\) è definita solo per \(h(x)\neq 0\). Ovvero, la funzione non è definita per \(x \in \{-2, 2\}\), è negativa per \(x\le -2\) e \(x\ge 2\) e positiva tra \(-2\) e \(2\). Calcolando massimi, minimi e i vari limiti dei tre intervalli puoi identificare l'esatta immagine.
Quello che appare evidente graficamente è che avvicinandosi a \(-2\) e \(2\) la funzione tende a \(\pm \infty\) e che il limite di \(f\) per \(-\infty\) è uguale a \(0\). Pertanto, l'immagine avrà verosimilmente la forma \((-\infty, 0) \cup [a, \infty)\) dove \(a\) è il minimo di \(f\) tra \(-2\) e \(2\).
Per la non convessità era comunque sufficiente usare il fatto che conteneva elementi positivi e negativi e 0 non era incluso.
Grazie, ora mi è abbastanza chiaro, quindi ha senso determinare l'immagine osservando il grafico ottenuto dallo studio di funzione?
Ma... A parte il fatto che per indicare gli intervalli al più si usano le parentesi quadre [tex][a,b],]a,b[[/tex] oppure [tex](a,b)[/tex], etc. Comunque mi pare ci siano degli errori di calcolo. Quali sono i punti stazionari? Quanto valgono i minimi/massimi locali corrispondenti (se lo sono)? Nel senso, non mi pare che [tex]x=0[/tex] annulli la derivata. Se con la cosa che hai scritto intendi (immagino sia questa la notazione che usi)
[tex]\operatorname{im}(f)=]-\infty,0[\,\cup\,\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big[[/tex]
allora dovremmo esserci.
"413":
Ma... A parte il fatto che per indicare gli intervalli al più si usano le parentesi quadre [tex][a,b],]a,b[[/tex] oppure [tex](a,b)[/tex], etc. Comunque mi pare ci siano degli errori di calcolo. Quali sono i punti stazionari? Quanto valgono i minimi/massimi locali corrispondenti (se lo sono)? Nel senso, non mi pare che [tex]x=0[/tex] annulli la derivata. Se con la cosa che hai scritto intendi (immagino sia questa la notazione che usi)
[tex]\operatorname{im}(f)=]-\infty,0[\,\cup\,\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big[[/tex]allora dovremmo esserci.
si scusami ho sbagliato, la derivata si azzera per x= 1- rad(5) e x= 1 + rad(5)
"413":
Ma... A parte il fatto che per indicare gli intervalli al più si usano le parentesi quadre [tex][a,b],]a,b[[/tex] oppure [tex](a,b)[/tex], etc. Comunque mi pare ci siano degli errori di calcolo. Quali sono i punti stazionari? Quanto valgono i minimi/massimi locali corrispondenti (se lo sono)? Nel senso, non mi pare che [tex]x=0[/tex] annulli la derivata. Se con la cosa che hai scritto intendi (immagino sia questa la notazione che usi)
[tex]\operatorname{im}(f)=]-\infty,0[\,\cup\,\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big[[/tex]allora dovremmo esserci.
si scusami ho sbagliato, la derivata si azzera per x= 1- rad(5) e x= 1 + rad(5)
"Fab94_":
Grazie, ora mi è abbastanza chiaro, quindi ha senso determinare l'immagine osservando il grafico ottenuto dallo studio di funzione?
Va bene usare l'intuizione, ma poi devi supportare le tue impressioni con i calcoli. Io non avevo tempo e voglia di farle e mi sono limitato all'intuizione.
Ok, evidentemente quello non è convesso perché è unione disgiunta di due intervalli non vuoti, quindi non un intervallo. Puoi verificare che quello non è convesso usando la definizione: prendi [tex]-1\in]-\infty,0][/tex] e [tex]1\in\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big][/tex], cosa dovrebbe accadere se [tex]-1\in]-\infty,0]\,\cup\,\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big][/tex] fosse convesso?
"413":
Ok, evidentemente quello non è convesso perché è unione disgiunta di due intervalli non vuoti, quindi non un intervallo. Puoi verificare che quello non è convesso usando la definizione: prendi [tex]-1\in]-\infty,0][/tex] e [tex]1\in\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big][/tex], cosa dovrebbe accadere se [tex]-1\in]-\infty,0]\,\cup\,\Big[\frac{e^{-1-\sqrt5}}{2(\sqrt5-1)},+\infty\Big][/tex] fosse convesso?
Ah ok grazie mille.
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