Indeterminazione serie e domande varie.
Perchè, se una successione è a termini positivi, la serie che su di essa "si organizza" non può essere indeterminata?
Mi confermate che per studiare il carattere di una serie, il procedimento da seguire è sempre quello di vedere se è verificata la condizione necessaria per la convergenza di una serie(il limite della successione uguale a $0$) e poi di procedere per esclusione, utilizzando i vari criteri?
Mi confermate che per studiare il carattere di una serie, il procedimento da seguire è sempre quello di vedere se è verificata la condizione necessaria per la convergenza di una serie(il limite della successione uguale a $0$) e poi di procedere per esclusione, utilizzando i vari criteri?
Risposte
"turtle87":
Perchè, se una successione è a termini positivi, la serie che su di essa "si organizza" non può essere indeterminata?
Questo è un classico teorema: una serie a termini positivi può solo convergere oppure divergere positivamente. E' una immediata conseguenza dell'analogo teorema per successioni monotone. Ma una serie non "si organizza" su una successione!
"turtle87":
Mi confermate che per studiare il carattere di una serie, il procedimento da seguire è sempre quello di vedere se è verificata la condizione necessaria per la convergenza di una serie(il limite della successione uguale a $0$) e poi di procedere per esclusione, utilizzando i vari criteri?
E' un algoritmo che funziona spesso. Naturalmente noi non siamo macchine e non sempre possiamo andare per algoritmi!
E' un algoritmo che funziona spesso. Naturalmente noi non siamo macchine e non sempre possiamo andare per algoritmi!
Però nemmeno possiamo negare che il meglio di noi, in contesti fortemente ansiogeni, lo diamo quando questi algoritmi ci sono...
Quando siamo liberi di divertirci, è allora che la mente "crea".
Ma una serie non "si organizza" su una successione!
Le virgolette sono tutto ciò che sono riuscito a fare per cercare di camuffare l'obrobrio
.Ho scritto così confidando nella tolleranza di chi leggeva
Questo è un classico teorema: una serie a termini positivi può solo convergere oppure divergere positivamente. E' una immediata conseguenza dell'analogo teorema per successioni monotone.
E' un teorema che non conosco. Non è che c'è qualche link?
Ah guarda questo teorema è tanto semplice quanto importante, Lo enuncio qui un po' alla svelta:
Teorema fondamentale sulle successioni monotone: Sia $(a_n)_{n\inNN}$ una successione crescente (risp. decrescente) di numeri reali. Allora $lim_{n\toinfty}a_n="sup"{a_n\ |\ n\inNN}$ (risp. $"inf"{a_n\ |\ n\inNN}$ e l'esistenza del limite (eventualmente infinito) fa parte della conclusione. Sei proprio sicuro di non conoscere questo teorema?
P.S:
D'accordo al 100%.
Teorema fondamentale sulle successioni monotone: Sia $(a_n)_{n\inNN}$ una successione crescente (risp. decrescente) di numeri reali. Allora $lim_{n\toinfty}a_n="sup"{a_n\ |\ n\inNN}$ (risp. $"inf"{a_n\ |\ n\inNN}$ e l'esistenza del limite (eventualmente infinito) fa parte della conclusione. Sei proprio sicuro di non conoscere questo teorema?
P.S:
"turtle87":
Però nemmeno possiamo negare che il meglio di noi, in contesti fortemente ansiogeni, lo diamo quando questi algoritmi ci sono...
Quando siamo liberi di divertirci, è allora che la mente "crea".
D'accordo al 100%.
Questo teorema lo conosco. Anche se non lo conoscessi, potrei facilmente ricavarlo, credo, dal teorema sui limiti delle funzioni monotone.
Il problema è che non sono riuscito a trovare il nesso tra questo teorema e le serie, che sono successioni, ma rappresentano un particolare tipo di successioni. Oppure tale nesso è talmente banale, che mi rifiuto di credere che sia così facile
.
Cioè, non riesco a capire perchè, se una successione è a termini positivi, la serie non possa essere indeterminata.
Il problema è che non sono riuscito a trovare il nesso tra questo teorema e le serie, che sono successioni, ma rappresentano un particolare tipo di successioni. Oppure tale nesso è talmente banale, che mi rifiuto di credere che sia così facile
.Cioè, non riesco a capire perchè, se una successione è a termini positivi, la serie non possa essere indeterminata.
"turtle87":
Questo teorema lo conosco.
Ne ero certo.
E' tutta questione di somme parziali. Se una serie è a termini positivi, la sua successione di somme parziali è una successione crescente (se ci pensi un attimo è ovvio). Quindi di sicuro le somme parziali ammettono limite: si tratta solo di stabilire se è un numero oppure $+infty$.
Quindi di sicuro le somme parziali ammettono limite: si tratta solo di stabilire se è un numero oppure $+infty$.
Alla prima parte di quello che hai scritto, che non ho riportato, ci avevo pensato. Però poi comunque mi sono arenato davanti al fatto che non vedo come si possa dimostrare l'assunto.
Io le successioni le considero come funzioni qualunque, alla fine, con l'unica "differenza" stante nel fatto che l'unico punto di accumulazione per il loro dominio è $+infty$. Stop, per il resto sono funzioni come tutte le altre, e quindi, come tutte le altre, possono anche essere non regolari, salvo ovviamente l'azione di qualcuno che mi illumini, magari su una sciocchezza, che non riesco a cogliere, per convincermi del contrario
"turtle87":
per il resto sono funzioni come tutte le altre, e quindi, come tutte le altre, possono anche essere non regolari, salvo ovviamente l'azione di qualcuno che mi illumini
L'unico che ti possa illuminare è il teorema fondamentale che dicevo prima. Le successioni sono funzioni come tutte le altre, vero, e come tali possono pure non essere regolari, verissimo: ma non le successioni monotone. Quelle sono sempre regolari.
Sì, ho controllato, si può dimostrare, anche se io non so farlo (intuitivamente è abbastanza semplice, credo).Non avevo considerato che una funzione monotona è sempre regolare per $x$ tendente ad un estremo dell'insieme di definizione.
Scusami se ti ho fatto perdere tempo, alla fine mi è servito comunque, per arrivare a prestare più attenzione a un teorema.
Scusami se ti ho fatto perdere tempo, alla fine mi è servito comunque, per arrivare a prestare più attenzione a un teorema.
C'è questa serie, di cui determinare il carattere:
$\sum_{n=1}^\infty\sen((5n + 1)/(n^2))^(1 - cos(1/n))$
Ragiono sempre secondo l'algoritmo. Se vado a fare il limite della successione $sen((5n + 1)/(n^2))^(1 - cos(1/n))$, dovrebbe venire 1. Di conseguenza, la serie non può essere convergente.
Può allora essere indeterminata, convergente, divergente. Il mio testo mette questo esercizio insieme ad altre serie sicuramente a termini positivi. Questa serie, però non è a termini positivi, o almeno non è immediato dimostrare che lo sia.
Come posso ragionare, in questo caso?
P.S.- Il testo, a proposito di questo gruppo di esercizi, mi dice che non è necessario studiare il segno della successione se il limite per $n$ che tende a $+ infty$ della successione stessa è maggiore di zero, perchè, per il teorema della permanenza del segno, risulta definitivamente che la successione è maggiore di zero.
Ciò non toglie che, però, la successione, al di fuori di un opportuno intorno del limite, possa avere valore negativo. Perchè invece il teorema della permanenza del segno assicurerebbe la stretta crescenza della serie? Prima di quell'intorno, la serie non può "fare quello che vuole"?
$\sum_{n=1}^\infty\sen((5n + 1)/(n^2))^(1 - cos(1/n))$
Ragiono sempre secondo l'algoritmo. Se vado a fare il limite della successione $sen((5n + 1)/(n^2))^(1 - cos(1/n))$, dovrebbe venire 1. Di conseguenza, la serie non può essere convergente.
Può allora essere indeterminata, convergente, divergente. Il mio testo mette questo esercizio insieme ad altre serie sicuramente a termini positivi. Questa serie, però non è a termini positivi, o almeno non è immediato dimostrare che lo sia.
Come posso ragionare, in questo caso?
P.S.- Il testo, a proposito di questo gruppo di esercizi, mi dice che non è necessario studiare il segno della successione se il limite per $n$ che tende a $+ infty$ della successione stessa è maggiore di zero, perchè, per il teorema della permanenza del segno, risulta definitivamente che la successione è maggiore di zero.
Ciò non toglie che, però, la successione, al di fuori di un opportuno intorno del limite, possa avere valore negativo. Perchè invece il teorema della permanenza del segno assicurerebbe la stretta crescenza della serie? Prima di quell'intorno, la serie non può "fare quello che vuole"?
Permanenza del segno... 
Permanenza del segno...
Non ho mica capito la battuta...
Mica era una battuta... 
Era un suggerimento risolutivo.
Se conosci il teorema della permanenza del segno, allora puoi anche capire come si comporta la tua serie.
Era un suggerimento risolutivo.
Se conosci il teorema della permanenza del segno, allora puoi anche capire come si comporta la tua serie.
Aveva tutta l'aria di essere una battuta fine.
Comunque, se la successione solo in un opportuno intorno del suo limite è detto che assuma valore positivo per ogni $n$ appartenente ad un fissato intorno $M$ di $+ \infty$, noi non sappiamo niente di quello che accade nei punti che non appartengono ad $M$. I termini della successione potrebbero anche essere negativi, per gli $n$ non appartenenti ad $M$, o no?
Comunque, se la successione solo in un opportuno intorno del suo limite è detto che assuma valore positivo per ogni $n$ appartenente ad un fissato intorno $M$ di $+ \infty$, noi non sappiamo niente di quello che accade nei punti che non appartengono ad $M$. I termini della successione potrebbero anche essere negativi, per gli $n$ non appartenenti ad $M$, o no?
Ma i punti che non appartengono a $M$ sono in numero finito, quindi che ti importa?
A questo ci avevo pensato, ma non pensavo sinceramente che potesse essere preso per buono senza una "dimostrazione ufficiale". Ho pensato, quindi, subito di aver preso un granchio.
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