Incrementi relativi

[CaMpIoN]

Se ho una funzione $y=f(x)$, allora so che il suo incremento verticale rispetto a quello orizzontale è dato dalla derivata prima di $f(x)$ rispetto a $x$. Questa mi dice di quanto incrementa verticalmente la funzione se incrementa di $1$ orizzontalmente. Allo stesso modo se calcolo la derivata della funzione rispetto a $y$ allora ottengo gli incrementi orizzontali quando verticalmente la funzione varia di $1$. Dove la funzione ha derivata rispetto a $x$ minore o uguale a $1$, allora la sua derivata rispetto a $y$ è maggiore di $1$ e viceversa?

Cioè se
\(\displaystyle y'\leq 1 \)
Allora
\(\displaystyle x'>1 \)

E' sempre vera questa cosa nelle funzioni reali di variabile reale?

[Luca.Lussardi]

Moralmente si ma fai attenzione perché stai presupponendo che la funzione sia invertibile.

[donald_zeka]

È proprio quello che dice il teorema di derivazione della funzione inversa

[CaMpIoN]

Se ho capito bene il teorema dice che se $y=f(x)$ ed è invertibile allora la derivata di $f^{-1}(x)$ è
\(\displaystyle \frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}\)
Scrivendo con la notazione di Lagrange sarebbe
\(\displaystyle \frac{d}{dy}f^{-1}(y)=x' \qquad \frac{d}{dx}f(x)=y' \)
Sarebbe quindi
\(\displaystyle x'=\frac{1}{y'} \)
Che ci dice quanto detto sopra, giusto?.
Però mi sembra strano, perché $x'$ dovrebbe indicare la variazione di $x$ se $y$ varia di $1$, mentre la derivata $y'$ dovrebbe indicare il contrario.

[CaMpIoN]

Con la seguente immagine credo di aver capito.

In figura vi è il grafico di una funzione con $y'\leq 1$ nel punto $F$. Partendo da $F$ muovendoci di uno verso destra si va in $H$ , la funzione in verticale si sposta come previsto di un valore minore di $1$. Al contrario muovendoci da $F$ di uno verso l'alto si va in $K$, la funzione in orizzontale si sposta come previsto di un valore maggiore di $1$.