Incongruenza formula accelerazione
Salve a tutti, da qualche giorno sono bloccato negli studi da un incongruenza trovata nello studio delle curve in $RR^3$ (analisi matematica II).
L’incongruenza di cui parlo riguarda la formula dell’accelerazione o meglio ancora la differenza tra il risultato ottenuto seguendo il rigore matematico da quello che trovo nei libri di fisica.
Vengo al dunque: Nel libro di analisi matematica II, C.D. Pagani S.Salsa capitolo 1 sulle curve in R3 pagina 28, troviamo il teorema N° 1.9:
Sia r=r(t) l'equazione vettoriale di una curva regolare di classe C2([a,b]). Allora valgono le seguenti formule:
$\vec a=\vec r''(t)=v'(t)\vec T(t)+k(t)v(t)\vec N(t)$ $(\vec T'!=0)$ (1.16)
con:
$k(t)$ norma del vettore curvatura, cioè più semplicemente la curvatura;
$\vec T(t) e \vec N(t)$ rispettivamente versori tangente e normale alla curva;
$v(t)=||\vec r'(t)||$ cioè norma del vettore velocità.
La formula appena scritta è una formula di decomposizione dell'accelerazione nelle sue componenti tangenziale e normale.
Fin qui nessun problema infatti questa formula si può trovare anche sui libri di fisica o ingegneria.
Il problema nasce quando i fisici o gli ingegneri preferiscono esprimere la formula anzichè in funzione del modulo della velocità v, in funzione del modulo della velocità angolare.
Quella che viene chiamata velocità angolare altro non è per i matematici che la norma della derivata del versore tangente alla curva, in altre parole, sempre facendo riferimento al pagani salsa:
$||\vec T'(t)||$=velocità di rotazione del versore $\vec T(t)$, spesso indicata come $\dot\Theta$
La velocità v è legata a tale velocità di rotazione mediante la 1.15 pagina 27, cioè:
$k(t):=\frac{||\vec T'(t)||}{v(t)}$ (1.15)
Dunque dalla 1.15 possiamo ricavare che
$v(t)=||\vec T'(t)||/(k(t))$ oppure $v(t)=\rho(t)||\vec T'(t)||$
con $\rho(t)$ raggio di curvatura.
(E anche qui tutto ok visto che i fisici giungono allo stesso risultato scrivendo però:
$v(t)=\rho(t)\dot\Theta(t)$
Il problema sorge invece ora, in quanto andando a fare la sostituzione
nella formula dell'accelerazione 1.16 il risultato dell'operazione in fisica è:
$\vec a(t)=\rho||\vec T'||'\vecT + \rho||\vecT'||^2\vecN$ in verità scrivono $\vec a(t)=\rho\ddot\Theta\vecT + \rho\dot\Theta^2\vecN$
Il secondo termine dell'equazione mi è chiaro, è il risultato di una semplice sostituzione,ma il primo termine quello cioè relativo alla
componente tangenziale dell'accelerazione non mi è chiaro per niente, perchè parlando in rigore matematico la funzione
$v(t)=\rho(t)||\vec T'(t)||$ oppure $v(t)=\rho(t)\dot\Theta(t)$
è funzione del prodotto di due funzioni in t.
Dunque andando a fare la sostituzione e poi la derivata avrei dovuto ottenere:
$\vec a=(\rho'||\vec T'||+\rho||\vec T'||')\vec T+\rho||\vec T'||^2\vec N$
cioè secondo il simbolismo fisico:
$\vec a=(\rho'\dot\Theta +\rho\ddot\Theta)\vec T+\rho\dot\Theta^2\vec N$
Come mai non è così? La risposta che già ho ricevuto è che $\rho(t)$ non viene derivato essendo costante nel
cerchio osculatore che approssima la curva , ma la risposta non mi è sembrata esauriente,
in quanto seguendo il rigore matematico, prescindendo cioè dal significato fisico dovrei giungere allo stesso risultato.
Ringrazio già da ora tutti coloro che sono disposti ad aiutarmi a risolvere questo problema.
L’incongruenza di cui parlo riguarda la formula dell’accelerazione o meglio ancora la differenza tra il risultato ottenuto seguendo il rigore matematico da quello che trovo nei libri di fisica.
Vengo al dunque: Nel libro di analisi matematica II, C.D. Pagani S.Salsa capitolo 1 sulle curve in R3 pagina 28, troviamo il teorema N° 1.9:
Sia r=r(t) l'equazione vettoriale di una curva regolare di classe C2([a,b]). Allora valgono le seguenti formule:
$\vec a=\vec r''(t)=v'(t)\vec T(t)+k(t)v(t)\vec N(t)$ $(\vec T'!=0)$ (1.16)
con:
$k(t)$ norma del vettore curvatura, cioè più semplicemente la curvatura;
$\vec T(t) e \vec N(t)$ rispettivamente versori tangente e normale alla curva;
$v(t)=||\vec r'(t)||$ cioè norma del vettore velocità.
La formula appena scritta è una formula di decomposizione dell'accelerazione nelle sue componenti tangenziale e normale.
Fin qui nessun problema infatti questa formula si può trovare anche sui libri di fisica o ingegneria.
Il problema nasce quando i fisici o gli ingegneri preferiscono esprimere la formula anzichè in funzione del modulo della velocità v, in funzione del modulo della velocità angolare.
Quella che viene chiamata velocità angolare altro non è per i matematici che la norma della derivata del versore tangente alla curva, in altre parole, sempre facendo riferimento al pagani salsa:
$||\vec T'(t)||$=velocità di rotazione del versore $\vec T(t)$, spesso indicata come $\dot\Theta$
La velocità v è legata a tale velocità di rotazione mediante la 1.15 pagina 27, cioè:
$k(t):=\frac{||\vec T'(t)||}{v(t)}$ (1.15)
Dunque dalla 1.15 possiamo ricavare che
$v(t)=||\vec T'(t)||/(k(t))$ oppure $v(t)=\rho(t)||\vec T'(t)||$
con $\rho(t)$ raggio di curvatura.
(E anche qui tutto ok visto che i fisici giungono allo stesso risultato scrivendo però:
$v(t)=\rho(t)\dot\Theta(t)$
Il problema sorge invece ora, in quanto andando a fare la sostituzione
nella formula dell'accelerazione 1.16 il risultato dell'operazione in fisica è:
$\vec a(t)=\rho||\vec T'||'\vecT + \rho||\vecT'||^2\vecN$ in verità scrivono $\vec a(t)=\rho\ddot\Theta\vecT + \rho\dot\Theta^2\vecN$
Il secondo termine dell'equazione mi è chiaro, è il risultato di una semplice sostituzione,ma il primo termine quello cioè relativo alla
componente tangenziale dell'accelerazione non mi è chiaro per niente, perchè parlando in rigore matematico la funzione
$v(t)=\rho(t)||\vec T'(t)||$ oppure $v(t)=\rho(t)\dot\Theta(t)$
è funzione del prodotto di due funzioni in t.
Dunque andando a fare la sostituzione e poi la derivata avrei dovuto ottenere:
$\vec a=(\rho'||\vec T'||+\rho||\vec T'||')\vec T+\rho||\vec T'||^2\vec N$
cioè secondo il simbolismo fisico:
$\vec a=(\rho'\dot\Theta +\rho\ddot\Theta)\vec T+\rho\dot\Theta^2\vec N$
Come mai non è così? La risposta che già ho ricevuto è che $\rho(t)$ non viene derivato essendo costante nel
cerchio osculatore che approssima la curva , ma la risposta non mi è sembrata esauriente,
in quanto seguendo il rigore matematico, prescindendo cioè dal significato fisico dovrei giungere allo stesso risultato.
Ringrazio già da ora tutti coloro che sono disposti ad aiutarmi a risolvere questo problema.
Risposte
Ho fatto anche qualche ricerca su internet, ma niente che faccia riferimento alla mia domanda.
Intanto mi stavo chiedendo, visto che proprio pochi sono interessati a questo argomento, se ho sbagliato ad aprire la domanda in questa sezione, forse dovevo farlo in fisica o ingegneria?
Intanto mi stavo chiedendo, visto che proprio pochi sono interessati a questo argomento, se ho sbagliato ad aprire la domanda in questa sezione, forse dovevo farlo in fisica o ingegneria?
"Agente47":
Come mai non è così? La risposta che già ho ricevuto è che $\rho(t)$ non viene derivato essendo costante nel
cerchio osculatore che approssima la curva , ma la risposta non mi è sembrata esauriente,
in quanto seguendo il rigore matematico, prescindendo cioè dal significato fisico dovrei giungere allo stesso risultato.
Scusami posso sapere chi hai già fatto la domanda ?
Avevo già visto il tuo post, non è facile dare una risposta, con un po' di calma ci ragiono su un po', vedo se ne esce qualcosa.
"Quinzio":
[quote="Agente47"]
Come mai non è così? La risposta che già ho ricevuto è che $\rho(t)$ non viene derivato essendo costante nel
cerchio osculatore che approssima la curva , ma la risposta non mi è sembrata esauriente,
in quanto seguendo il rigore matematico, prescindendo cioè dal significato fisico dovrei giungere allo stesso risultato.
Scusami posso sapere chi hai già fatto la domanda ?
Avevo già visto il tuo post, non è facile dare una risposta, con un po' di calma ci ragiono su un po', vedo se ne esce qualcosa.[/quote]
Ovviamente prima di venire a scomodare voi, che come vedo avete tantissimo su cui lavorare, visto che praticamente vi vengono postate decine di domande ogni giorno, ho scritto una mail al mio prof. di meccanica applicata.
Chiaramente discutere via posta elettronica non è il massimo e io ora non posso incontrare il prof. Così dopo aver insistito 3 volte ho deciso di rivolgermi altrove.
Poi ho scritto anche alla mia ex prof.ssa di analisi II la quale però non mi ha risposto (ancora?).
Grazie mille per il tuo interesse, davvero gentile.
Salve ancora.
Allora non ho ricevuto più risposte da nessuno(intendo dai miei prof.).
Ho avuto un colloquio con un mio prof.(lo stesso che mi ha risposto per posta elettronica, l'unico oltretutto) il quale è stato gentilissimo e mi ha aiutato un sacco su altre questioni ma su questa che ho postato niente, mi ha detto di non esagerare con gli approfondimenti.
Io però mi sento di voler approfondire questa questione per una mia passione personale.
Mi rivolgo gentilmente ora ai matematici di questo forum o comunque a chi può aiutarmi, per favore potete rispondere a questa domanda:
Data per buona la formula del pagani-salsa (1.16) e data per buona la (1.15) sempre della stessa fonte, è lecito o no da un punto di vista puramente matematico ricavare $\v(t)$ dalla (1.15) calcolare la derivata $\v'(t)=(||vecT'(t)||'k(t)-||vecT'(t)||k'(t))/(k^2(t))$, e sostituire questa relazione trovata nella (1.16) ?
Grazie mille.
Allora non ho ricevuto più risposte da nessuno(intendo dai miei prof.).
Ho avuto un colloquio con un mio prof.(lo stesso che mi ha risposto per posta elettronica, l'unico oltretutto) il quale è stato gentilissimo e mi ha aiutato un sacco su altre questioni ma su questa che ho postato niente, mi ha detto di non esagerare con gli approfondimenti.
Io però mi sento di voler approfondire questa questione per una mia passione personale.
Mi rivolgo gentilmente ora ai matematici di questo forum o comunque a chi può aiutarmi, per favore potete rispondere a questa domanda:
Data per buona la formula del pagani-salsa (1.16) e data per buona la (1.15) sempre della stessa fonte, è lecito o no da un punto di vista puramente matematico ricavare $\v(t)$ dalla (1.15) calcolare la derivata $\v'(t)=(||vecT'(t)||'k(t)-||vecT'(t)||k'(t))/(k^2(t))$, e sostituire questa relazione trovata nella (1.16) ?
Grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo