Incomprensione convergenza puntuale/convergenza uniforme

[Sk_Anonymous]

ciao

credo di aver focalizzato bene ciò che non mi è chiaro sulla differenza tra le due convergenze puntuale e uniforme:

si abbia una serie di funzioni ${x_n}$ che converga puntualmente in un certo intervallo di x fissati. Di qui (mi scuso per l'eventuale banalità della domanda) cosa porta a dire che, tuttavia, non è detto che ci sia anche convergenza uniforme in quell'intervallo? La dipendenza di $n(\epsilon,x)$ anche da x in quell'intervallo? grazie

[DavideGenova1]

Esatto. Per visualizzare la cosa posso consigliarti di graficare la funzione \(f_n:[0,1)\to\mathbb{R},x\mapsto x^n\) per vari $n$, via via crescenti. Converge puntualmente alla funzione identicamente nulla in ogni $x$, ma non converge uniformemente ad essa, infatti, per ogni $n$, assume per $x\to 1$ valori arbitrariamente prossimi ad 1. Tutt'altro che essere vicina a piacere allo 0 per un'opportuna scelta di $n$ per ogni $x\in[0,1)$, su tutto l'intervallo.
Tuttavia, fissato $x$, aumentando la potenza ottieni valori via via più piccoli e vicini allo 0 tanto quanto vuoi e perciò hai convergenza puntuale a 0 in ogni $x\in[0,1)$.

[Sk_Anonymous]

ti ringrazio, l'esempio mi ha chiarito perfettamente la dipendenza dell'indice n da x, nello studio della convergenza puntuale

[ostrogoto1]

Per le successioni di funzioni una rappresentazione grafica della convergenza uniforme e' il disegno di una "striscia" di ampiezza costante $ 2epsilon $ su tutto l'intervallo di convergenza a cavallo della funzione (in termini pragmatici i due bordi della striscia sono le traslate della funzione limite $ f(x)+-epsilon $) nella quale cadono tutte le funzioni per un certo n in poi. Questa e' la versione visiva della definizione di convergenza uniforme (equivalente alla def con il Sup):

$ AAepsilon>0 EEN=N(epsilon) $ tale che $ AAn>N" "et" " AAx\inX" "|f_n(x)-f(x)|