Inclusione spazi Lp

[e^iteta]

ciao ragazzi,
preparando analisi reale e funzionale è uscito fuori un bell'esercizietto e dopo ore di sforzi non sono ancora riuscito a vernirne a capo.
la domanda è:
" è possibile esibire un esempio di funzione $f: RR \to RR$ tale che $ f \in L^p$ $\forall p \in [1,\infty) $ ma tale che $f \notin L^{\infty}$?"
" è possibile esibire un esempio di funzione con le stesse proprietà ma definita su un intervallo $[a,b]$?
vi ringrazio già perchè so che la soluzione arriverà in un baleno
buona serata a tutti

[Rigel1]

$f(x) = \log x$ in $(0,1)$ e uguale a $0$ altrimenti dovrebbe fare al caso tuo (per il secondo punto basta prendere $a\le 0$ e $b>0$; se l'intervallo è fissato basta traslare).

[e^iteta]

che idiota, grazie.
ti confesso che per qualche motivo mi ero scritto un appunto: "suggerimento: additività numerabile, densità e logaritmi". e ovviamente ero partito per una mega tangente che mi aveva portato lontanissimo!
grazie mille per l'aiuto

[gugo82]

Correggetemi se sbaglio, ma si possono fare esempi anche più estremi per [tex]$p=1$[/tex]...

Ad esempio, diciamo [tex]$(x_n)$[/tex] una enumerazione dei razionali di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]* e, per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], consideriamo la funzione:

[tex]$u_n(x):=\begin{cases} \frac{1}{(n+1)^2}\ \Big| \ln |x-x_n|\Big| &\text{, se $x\in [x_n-1,x_n+1]$} \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}$[/tex];

evidentemente si ha [tex]$u_n(x)\geq 0$[/tex], [tex]$u_n\notin L^\infty (\mathbb{R})$[/tex], però [tex]$u_n \in L^p (\mathbb{R})$[/tex]: invero:

[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} |u_n(x)|^p\ \text{d} x \stackrel{t=x-x_n}{=} \frac{1}{(n+1)^{2p}}\ \int_{-1}^1 \Big| \ln |t|\Big|^p \ \text{d} t =\frac{1}{(n+1)^{2p}} C(p)<+\infty$[/tex],

in cui [tex]C(p):=\int_{-1}^1 \Big| \ln |t|\Big|^p \ \text{d} t =2\int_0^1 |\ln t|^p\ \text{d} t <+\infty[/tex] (ed in particolare [tex]$C(1)=2$[/tex]).

Consideriamo ora la funzione:

[tex]$u(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)$[/tex]:

tale funzione è somma di una serie di funzioni positive, quindi [tex]$u(x)\geq 0$[/tex]; inoltre visto che le [tex]$u_n(x)$[/tex] stanno in [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex] per Beppo Levi risulta:

[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\ \text{d} x =\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=0}^N \int_{-\infty}^{+\infty} u_n(x)\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{(n+1)^2} C(1)$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{(n+1)^2} $[/tex]
[tex]$=\frac{\pi^2}{3} <+\infty$[/tex]

sicché [tex]$u\in L^1(\mathbb{R})$[/tex].; da ciò segue, in particolare, che la [tex]$u(x)$[/tex] è quasi ovunque finita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], nonostante i punti in cui le [tex]$u_n(x)$[/tex] divergono formino un sottoinsieme denso in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
D'altra parte, è evidente che [tex]$u(x)$[/tex] non è essenzialmente limitata superiormente: infatti, per ogni fissato [tex]$\alpha >0$[/tex], si ha:

[tex]$\{ x:\ u_0(x)>\alpha\}\subseteq \{ x:\ u(x)>\alpha \}$[/tex]

quindi [tex]$m(\{ x:\ u(x)>\alpha\})\geq m(\{ x:\ u_0(x)>\alpha \})>0$[/tex] (qui [tex]$m(\cdot)$[/tex] è la misura di Lebesgue in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]); dunque [tex]$u\notin L^\infty (\mathbb{R})$[/tex].


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* Intendo che [tex]$(x_n)$[/tex] è l'immagine ordinata di un'applicazione biiettiva [tex]$\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$[/tex].