Incertezze con limiti e integrali
Ciao a tutti, il professore del mio corso ha assegnato alcuni esercizi che ne io ne altri miei compagni di corso riusciamo a risolvere, spero che ci darete una mano, visto che tra pochi giorni c'è anche una prova scritta su queste cose XD
Il primo esecizio è:
Si consideri la funzione f(x)= \$1/tan^2x\$ e calcolarne una sua primitiva.
Il secondo esercizio è:
\$lim_(x->0)((1+x)^sinx-1)/(1-cosx)\$
Per il primo dopo aver usato la sostituzione t=tanx abbiamo un blocco totale, poichè non riusciamo a risolverla nè con i fratti semplici ne con l'integrazione per parti.
Per il secondo io ho usato l'Hopital ma è un metodo parecchio lungo dato che con la prima derivata non si risolve, e con la seconda viene come risultato del limite =1 ma tramite wolfram aplha otteniamo un risultato =2. Perché?? Ed eventualmente come si può risolvere tramite i limiti notevoli?
Il primo esecizio è:
Si consideri la funzione f(x)= \$1/tan^2x\$ e calcolarne una sua primitiva.
Il secondo esercizio è:
\$lim_(x->0)((1+x)^sinx-1)/(1-cosx)\$
Per il primo dopo aver usato la sostituzione t=tanx abbiamo un blocco totale, poichè non riusciamo a risolverla nè con i fratti semplici ne con l'integrazione per parti.
Per il secondo io ho usato l'Hopital ma è un metodo parecchio lungo dato che con la prima derivata non si risolve, e con la seconda viene come risultato del limite =1 ma tramite wolfram aplha otteniamo un risultato =2. Perché?? Ed eventualmente come si può risolvere tramite i limiti notevoli?
Risposte
Consideriamo il limite.
$lim_{x->0} ((1+x)^sinx-1)/(1-cosx)$
Il mio hint :
[spoiler]$(1+x)^sinx=e^(sinx)log(1+x)$... ora dovrebbe sbloccarti[. Il limite diventa pressoché notevole./spoiler]
Il fatto che con hopital ti esca sbagliato, può essere perché non sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema . (oppure ci sono errori di derivazione)
Quali sono tali ipotesi?
$lim_{x->0} ((1+x)^sinx-1)/(1-cosx)$
Il mio hint :
[spoiler]$(1+x)^sinx=e^(sinx)log(1+x)$... ora dovrebbe sbloccarti[. Il limite diventa pressoché notevole./spoiler]
Il fatto che con hopital ti esca sbagliato, può essere perché non sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema . (oppure ci sono errori di derivazione)
Quali sono tali ipotesi?
per l'integrale basta osservare che
\begin{align}\int\frac{1}{\tan 2x}\,\,dx&=\int\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\,\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}\,\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{ \cos 2x}{\sin 2x}\,\,d\left(2x\right)\\
&\stackrel{2x=t}{=} \frac{1}{2}\int\frac{ \cos t}{\sin t}\,\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{ 1}{\sin t}\,\,d\left(\sin t\right)\end{align}
da cui si conclude facilmente; per il limite:
\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\sin x}-1}{1-\cos x}&\sim\lim_{x\to0}2\cdot\frac{(1+x)^{\sin x}-1}{x^2}\sim\lim_{x\to0}2\cdot\frac{(1+x)^x -1}{x^2}=\lim_{x\to0}2\cdot \frac{e^{x\ln(1+x)} -1}{x^2}\\
&\sim \lim_{x\to0}2\cdot \frac{ x\ln(1+x) }{x^2}=\lim_{x\to0}2\cdot \frac{ \ln(1+x) }{x }=2\end{align}
\begin{align}\int\frac{1}{\tan 2x}\,\,dx&=\int\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\,\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}\,\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{ \cos 2x}{\sin 2x}\,\,d\left(2x\right)\\
&\stackrel{2x=t}{=} \frac{1}{2}\int\frac{ \cos t}{\sin t}\,\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{ 1}{\sin t}\,\,d\left(\sin t\right)\end{align}
da cui si conclude facilmente; per il limite:
\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\sin x}-1}{1-\cos x}&\sim\lim_{x\to0}2\cdot\frac{(1+x)^{\sin x}-1}{x^2}\sim\lim_{x\to0}2\cdot\frac{(1+x)^x -1}{x^2}=\lim_{x\to0}2\cdot \frac{e^{x\ln(1+x)} -1}{x^2}\\
&\sim \lim_{x\to0}2\cdot \frac{ x\ln(1+x) }{x^2}=\lim_{x\to0}2\cdot \frac{ \ln(1+x) }{x }=2\end{align}
"Kashaman":
Consideriamo il limite.
$lim_{x->0} ((1+x)^sinx-1)/(1-cosx)$
Il mio hint :
Il fatto che con hopital ti esca sbagliato, può essere perché non sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema . (oppure ci sono errori di derivazione)
Quali sono tali ipotesi?
per l'hopital, le condizioni sono 0 su 0 o infinito su infinito... quindi nel primo limite può essere utilizzato dato che abbiamo una forma 0/0. Dopo la derivata (sempre se non ho sbagliato qualcosa) si potrebbe comunque utilizzare, però il problema è che come risultato finale poi mi viene 1 quando dovrebbe venire 2.
"Noisemaker":
per l'integrale basta osservare che
\begin{align}\int\frac{1}{\tan 2x}\,\,dx&=\int\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\,\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}\,\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{ \cos 2x}{\sin 2x}\,\,d\left(2x\right)\\
&\stackrel{2x=t}{=} \frac{1}{2}\int\frac{ \cos t}{\sin t}\,\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{ 1}{\sin t}\,\,d\left(\sin t\right)\end{align}
da cui si conclude facilmente; per il limite:
\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\sin x}-1}{1-\cos x}&\sim\lim_{x\to0}2\cdot\frac{(1+x)^{\sin x}-1}{x^2}\sim\lim_{x\to0}2\cdot\frac{(1+x)^x -1}{x^2}=\lim_{x\to0}2\cdot \frac{e^{x\ln(1+x)} -1}{x^2}\\
&\sim \lim_{x\to0}2\cdot \frac{ x\ln(1+x) }{x^2}=\lim_{x\to0}2\cdot \frac{ \ln(1+x) }{x }=2\end{align}
purtroppo l'integrale è sbagliato, al denominatore è \$tan^2x\$.
per quanto riguarda il limite non riesco a capire cosa sia successo dal quarto al quinto passaggio, quello in cui metti l'esponente di e al numeratore e fai sparire e e -1.
ecco perchè è importante saper scrivere le formule
Qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
per l'integrale
\[\int\frac{1}{\tan^2x}\,\,dx=\int\frac{\cos^2x}{\sin^2x}\,\,dx=\int\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}\,\,dx=\int\frac{1 }{\sin^2x}\,\,dx-x \]
da cui dovresti concludere.
Per il limite....limiti notevoli
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
\[\int\frac{1}{\tan^2x}\,\,dx=\int\frac{\cos^2x}{\sin^2x}\,\,dx=\int\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}\,\,dx=\int\frac{1 }{\sin^2x}\,\,dx-x \]
da cui dovresti concludere.
Per il limite....limiti notevoli
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
"Noisemaker":
ecco perchè è importante saper scrivere le formule
Qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
il fatto è che è proprio da lì che ho preso le formule, però non capisco perchè, anche se ne copio una senza modificarla, nell'anteprima mi appare scritta sempre in codice, quindi pensavo fosse un problema dell'anteprima. Poi per fretta non avevo verificato se nel messaggio inviato apparivano, quindi non ho avuto neanche il tempo per modificarlo.
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