Incertezza sui limiti
perdonate la mia ignoranza ma il mio libro reca la seguente dicitura:
Si osservi che la scrittura:
$lim_{x to c^{-}}f(x)=oo$
non significa che $f(x)$ ha due limiti ($+oo$ e $-oo$), bensì che $f(x)$, per $x to c^{-}$, assume valori sempre più grandi in valore assoluto oscillanti tra $-oo$ e $+oo$.
ora mi chiedo delle cose:
1) come fa ad esistere una funzione che per $x$ tendente a $c$ dalla sinistra vado contemporaneamente a $-oo$ e a $+oo$? per quello che ho capito io questo significherebbe che, graficamente, ci sono due rami uno sopra l'asse x che va a $+oo$ e uno sotto l'asse $x$ che va a $-oo$, ma una cosa del genere non è una funzione....
2) se il grafico non è quello e mi sono flesciato allora potrebbe essere come quello del seno (o del coseno) solo che anzicchè andare avanti all'infinito, si ferma a $c$ e alla sinistra di $c$ l'ampiezza aumenta all'infinito, ma in questo modo la funzione oscilla tra $-oo$ e $+oo$ e assume anche tutti i valori compresi quindi come fa ad evere il limite....
molto probabilmente sono io che non capisco niente ma mi spiegate come sia possibile che $lim_{x to c^{-}}f(x)=oo$?
Si osservi che la scrittura:
$lim_{x to c^{-}}f(x)=oo$
non significa che $f(x)$ ha due limiti ($+oo$ e $-oo$), bensì che $f(x)$, per $x to c^{-}$, assume valori sempre più grandi in valore assoluto oscillanti tra $-oo$ e $+oo$.
ora mi chiedo delle cose:
1) come fa ad esistere una funzione che per $x$ tendente a $c$ dalla sinistra vado contemporaneamente a $-oo$ e a $+oo$? per quello che ho capito io questo significherebbe che, graficamente, ci sono due rami uno sopra l'asse x che va a $+oo$ e uno sotto l'asse $x$ che va a $-oo$, ma una cosa del genere non è una funzione....
2) se il grafico non è quello e mi sono flesciato allora potrebbe essere come quello del seno (o del coseno) solo che anzicchè andare avanti all'infinito, si ferma a $c$ e alla sinistra di $c$ l'ampiezza aumenta all'infinito, ma in questo modo la funzione oscilla tra $-oo$ e $+oo$ e assume anche tutti i valori compresi quindi come fa ad evere il limite....
molto probabilmente sono io che non capisco niente ma mi spiegate come sia possibile che $lim_{x to c^{-}}f(x)=oo$?
Risposte
Considera la funzione $\frac{1}{x}\sin{\frac{1}{x}}$...
mmm...secondo me $lim_{x \to c^{-}}f(x)=oo$ solo se la funzione presenta un numero infinito di discontinuità............ma forse è na cavolata 
P.S.: non ti ho capito...qual'è il limite $lim_{x \to c^{-}}\frac{1}{x}sen(\frac{1}{x})$
P.S.: non ti ho capito...qual'è il limite $lim_{x \to c^{-}}\frac{1}{x}sen(\frac{1}{x})$
Quella funzione per x che tende a zero, tende a infinito senza segno
ok....ma in quello che sto chiedendo io il limite è solo sinistro....
"WiZaRd":
ok....ma in quello che sto chiedendo io il limite è solo sinistro....
Per x che tende a zero da sinistra quella funzione assume valori oscillanti sempre più grandi in modulo, quindi è proprio ciò che chiedevi.
va bè...non l'ho proprio capita....lasciamo stare
grazie lo stesso
grazie lo stesso
"WiZaRd":
va bè...non l'ho proprio capita....lasciamo stare
grazie lo stesso
Ora purtroppo non ho tempo per una spiegazione migliore, forse però un'immagine ti può aiutare.
pure io l'ho fatto e mi viene la stessa cosa....e proprio per questo io non capisco....il grafico sale e scende quindi oscilla tra $-oo$ e $+oo$ ma assume anche i valori che stanno in mezzo...boh
quello che non capisco è questo
il $lim_{x->+oo}tg(x)$ non esiste ma anche in questo caso la funzione oscilla tra $-oo$ e $+oo$...perchè allora con $frac{1}{x}sen\frac{1}{x}$ il limite per $x \to 0^{-}$ esiste: anche in questo caso, come in quello della tangente, la funzione oscilla tra gli infiniti e assume anche i valori tra essi compresi....
non ci sto capendo niente
il $lim_{x->+oo}tg(x)$ non esiste ma anche in questo caso la funzione oscilla tra $-oo$ e $+oo$...perchè allora con $frac{1}{x}sen\frac{1}{x}$ il limite per $x \to 0^{-}$ esiste: anche in questo caso, come in quello della tangente, la funzione oscilla tra gli infiniti e assume anche i valori tra essi compresi....
non ci sto capendo niente
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \sin(\frac{1}{x})$ non esiste.
volevo dire $x \to 0^{-}$
Manco quello esiste.
scusatemi eh...io sono tanto confuso che ormai non so nemmeno più dove sto di casa però
tipper dice che $lim_{x->0^{-}}\frac{1}{x}sen(\frac{1}{x})$ non eiste
gli altri mi dicono che $lim_{x->0^{-}}\frac{1}{x}sen(\frac{1}{x})$ è $oo$ senza segno
chi ha ragione?
tipper dice che $lim_{x->0^{-}}\frac{1}{x}sen(\frac{1}{x})$ non eiste
gli altri mi dicono che $lim_{x->0^{-}}\frac{1}{x}sen(\frac{1}{x})$ è $oo$ senza segno
chi ha ragione?
Se con infinito senza segno intendi dire che la funzione oscilla fra $+\infty$ e $-\infty$ è un conto, ma dire che esiste è un altro... D'altra parte, se la funzione oscilla fra $+\infty$ e $-\infty$, come fa ad esistere il limite?
Un modo per dimostrarlo è considerare $\lim_{t \to +\infty} t \sin(t)$ (che è uguale al limite in questione, a parte la sostituzione $t = \frac{1}{x}$, e considerando che $\frac{1}{x} \sin(x)$ è pari), e studiarlo lungo due successioni divergenti a $+\infty$ (vedi ad esempio $x_n = 2 n \pi$ e $y_n = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi$).
PS: ma infinito senza segno, che è?
Un modo per dimostrarlo è considerare $\lim_{t \to +\infty} t \sin(t)$ (che è uguale al limite in questione, a parte la sostituzione $t = \frac{1}{x}$, e considerando che $\frac{1}{x} \sin(x)$ è pari), e studiarlo lungo due successioni divergenti a $+\infty$ (vedi ad esempio $x_n = 2 n \pi$ e $y_n = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi$).
PS: ma infinito senza segno, che è?
"Tipper":
ma infinito senza segno, che è?
a questo punto credo che si sia fatta un po (anzi, parecchia) confusione....
innanzitutto...la discussione parte da quì:
parte 1 della questione il mio libro (di liceo) parla dei limiti infiniti per $x$ tendente a un valore finito e dice che, considerando che ci sono due infiniti e che il punto di passaggio al limite può essere sia destro che sinistro, oltre ai casi elementari si presentano anche i casi
$lim_{x->c^{-}}f(x)=oo$ oppure $lim_{x->c^{+}}f(x)=oo$
e come esempio del secondo caso ($x->c^{+}$) porta una funzione definita per casi, questa
$f(x)=\frac{1}{x}$ se $x in RR^{+} - QQ^{+}$
$f(x)= - \frac{1}{x}$ se $x \in QQ^{+}$
affermando che il limite per $x->0^{+}$ è $oo$.
parte 2 della questione Poi un paio di pagine avanti dice :
Si osservi che la scrittura:
$lim_{x to c^{-}}f(x)=oo$
non significa che $f(x)$ ha due limiti ($+oo$ e $-oo$), bensì che $f(x)$, per $x to c^{-}$, assume valori sempre più grandi in valore assoluto oscillanti tra $-oo$ e $+oo$.
A questo punto io credo che il libro volesse dire due cose diverse: nella parte 1 della questione intendeva l'esistenza di un vero e propio limite (e in questo caso io credo che servano funzioni definite per casi in modo da avere delle discontinuità infinite), mentre nella parte 2 della discussione ha usato il simbolismo del limite per indicare che la funzione oscilla tra gli infiniti (il che implica che il limite non c'è)...quindi tipper ha risposto interpretandola secondo l'esistenza del limite, gli altri secondo l'oscillazione della funzione
è così o manco stavolta ho capito?
il fatto delle discontinuità non c'entra nulla wizard.
la f che hai definito tu, nell'ottica della spiegazione, è uguale a quella di prima ,$frac{1}{x}sen frac{1}{x}$, nel senso che si voleva una funzione che in ogni intorno destro di 0 assumesse valori arbitrariamente grandi e.... -grandi.
(ok, scusate per il -grandi, ma piccolo mi fa venire in mente piccolo in modulo...)
la f che hai definito tu, nell'ottica della spiegazione, è uguale a quella di prima ,$frac{1}{x}sen frac{1}{x}$, nel senso che si voleva una funzione che in ogni intorno destro di 0 assumesse valori arbitrariamente grandi e.... -grandi.
(ok, scusate per il -grandi, ma piccolo mi fa venire in mente piccolo in modulo...)
si, ma se è discontinua non oscilla, ma tende contemporaneamente, nello stesso intorno destro di $0$, a $+oo$ e a $-oo$...almeno credo
in un certo senso anche la tua f discontinua "oscilla".
penso che la differenza su cui voglia porre l'attenzione il testo è tra una funzione in cui in ogni intorno di 0 vengono assunti valori arbitrariamente alti e bassi, la tua funzione, o anche $1/x sen 1/x$ (che oscilla), e una funzione che ha come limite sinistro $-oo$ e come limite destro $+oo$, come $1/x$, (che non oscilla).
penso che la differenza su cui voglia porre l'attenzione il testo è tra una funzione in cui in ogni intorno di 0 vengono assunti valori arbitrariamente alti e bassi, la tua funzione, o anche $1/x sen 1/x$ (che oscilla), e una funzione che ha come limite sinistro $-oo$ e come limite destro $+oo$, come $1/x$, (che non oscilla).
Ho commesso un errore
questa è una funzione del primo tipo 1)
e in linea di massima sono proprio due iperboli con dei "buchi", gli irrazionali vanno verso $+oo$ i razionali a $-oo$
La funzione non è convergente perchè ha due sottosucessioni che convergono a limiti diversi, pero' il limite di $|f(x)|$ esiste ed è unico e vale $oo$ (quello che io chiamo senza segno)
Nel caso della funzione oscillante il limite non esiste perché esistono due sottosucessioni che tendono a limiti diversi, e in questo caso anche $|f(x)|$ ha due sottosucessioni che tendono a limiti diversi, quindi non esiste, ma proprio NON
"WiZaRd":
ora mi chiedo delle cose:
1) come fa ad esistere una funzione che per $x$ tendente a $c$ dalla sinistra vado contemporaneamente a $-oo$ e a $+oo$? per quello che ho capito io questo significherebbe che, graficamente, ci sono due rami uno sopra l'asse x che va a $+oo$ e uno sotto l'asse $x$ che va a $-oo$, ma una cosa del genere non è una funzione....
2) se il grafico non è quello e mi sono flesciato allora potrebbe essere come quello del seno (o del coseno) solo che anzicchè andare avanti all'infinito, si ferma a $c$ e alla sinistra di $c$ l'ampiezza aumenta all'infinito, ma in questo modo la funzione oscilla tra $-oo$ e $+oo$ e assume anche tutti i valori compresi quindi come fa ad evere il limite....
questa è una funzione del primo tipo 1)
"WiZaRd":
$f(x)=\frac{1}{x}$ se $x in RR^{+} - QQ^{+}$
$f(x)= - \frac{1}{x}$ se $x \in QQ^{+}$
$lim_(x->0^{+})f(x)=oo$.
e in linea di massima sono proprio due iperboli con dei "buchi", gli irrazionali vanno verso $+oo$ i razionali a $-oo$
La funzione non è convergente perchè ha due sottosucessioni che convergono a limiti diversi, pero' il limite di $|f(x)|$ esiste ed è unico e vale $oo$ (quello che io chiamo senza segno)
Nel caso della funzione oscillante il limite non esiste perché esistono due sottosucessioni che tendono a limiti diversi, e in questo caso anche $|f(x)|$ ha due sottosucessioni che tendono a limiti diversi, quindi non esiste, ma proprio NON
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