Incertezza problema di cauchy
Salve a tutti
avrei un incertezza e spero che qualcuno gentilmente può aiutarmi
ho questo problema di cauchy:
y'=2xy^2 y(0)=1
risolvedo, mi trovo dinanzi all'integrale di 1 su y^2 in dy e dall'altra parte l'integrale di 2xdx.
Il mio dubbio è sull'integrale a sinistra: è corretto vederlo come y^-2 oppure è errato? come lo risolvo?
grazie a tutti
avrei un incertezza e spero che qualcuno gentilmente può aiutarmi
ho questo problema di cauchy:
y'=2xy^2 y(0)=1
risolvedo, mi trovo dinanzi all'integrale di 1 su y^2 in dy e dall'altra parte l'integrale di 2xdx.
Il mio dubbio è sull'integrale a sinistra: è corretto vederlo come y^-2 oppure è errato? come lo risolvo?
grazie a tutti
Risposte
giustissimo..integrando tra 0 e x entrambi i membri trovi
$-\frac{1}{y}+1=x^2$ e quindi facendo i conti $y(x)=\frac{1}{1-x^2}$
$-\frac{1}{y}+1=x^2$ e quindi facendo i conti $y(x)=\frac{1}{1-x^2}$
"alberto86":
giustissimo..integrando tra 0 e x entrambi i membri trovi
$-\frac{1}{y}+1=x^2$ e quindi facendo i conti $y(x)=\frac{1}{1-x^2}$
perdonami ma non riesco a capire come ti trovi
$-\frac{1}{y}+1$
a me viene $frac{1}{y}$
dov'è che sbaglio non riesco a capire il passaggio
mi sembra corretto... n=-2 (esponente) permette di applicare la formula classica per i monomi (solo per n=-1 non è valida...). ammetto di essere un po' arrugginita, questo tipo di problema è da tanto tempo che non mi capita di incontrarlo... ho provato comunque a svolgerlo, perché mi sembrava facile anche se poteva nascondere una piccola insidia. con tutte le dovute precauzioni, considera che ho ricavato la soluzione seguente: $y=-1/(x^2-1)$. ciao.
visto che nel frattempo sono arrivate altre soluzioni coincidenti con la mia, e viste le tue successive richieste, mi permetto di farti notare che, a meno di costanti arbitrarie, il primo integrale viene -1/y (e non +1/y) perché -2+1=-1 (vedi formula: numero che va sia come coefficiente al denominatore sia come esponente della y immaginata al numeratore; in pratica viene $y^-1/-1$). il secondo integrale, sempre a meno di una costante è $x^2$. veniamo aqll'insidia di cui parlavo: se non collochiamo opportunamente la costante arbitraria, potremmo ritrovarci 1/x^2 che non è definita in x=0.... io non metterei immediatamente 1 nella soluzione ma lo ricaverei facilmentenel modo seguente:
$-1/y+k_1=x^2+k_2$
$-1/y=x^2+k$
$-y=1/(x^2+k)$
$y=-1/(x^2+k)$
$(x=0=>y=1)=>-1/k=1=>k=-1$
$y(x)=-1/(x^2-1)$
non so se nel frattempo avranno risposto anche gli altri, ma è chiaro? ciao.
$-1/y+k_1=x^2+k_2$
$-1/y=x^2+k$
$-y=1/(x^2+k)$
$y=-1/(x^2+k)$
$(x=0=>y=1)=>-1/k=1=>k=-1$
$y(x)=-1/(x^2-1)$
non so se nel frattempo avranno risposto anche gli altri, ma è chiaro? ciao.
quando arrivi a $ \frac{y'}{y^2}= 2x$ integri entrambi i membri tra 0 e x..tu hai dimenticato di calcolare l'integranda del membro di sinistra in zero
si! grazie mille a tutti
l'ho rifatto sbadatamente non consideravo il segno meno all'integrale di sinistra, per questo non mi tovavo!
grazie ancora a tutti !
Pandora
l'ho rifatto sbadatamente non consideravo il segno meno all'integrale di sinistra, per questo non mi tovavo!
grazie ancora a tutti !
Pandora
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