∇ in coordinate polari

[brownbetty1]

Salve a tutti,

considerando la seguente figura



non mi sono chiare alcune cose in questo passaggio (la figura 2.22 è quella qui sopra)

,

dove

.

In particolare, se uno spostamento infinitesimo è

$dvecs = (dr; d\theta; d\phi)$,

come si ricava che

$dvecs = (dr; r\cdotd\theta; r\cdot sin\theta \cdot d\phi)$

osservando la prima figura ?

Grazie in anticipo.

[gordnbrn]

Conviene riferirsi a questa immagine (i versori non compaiono ma si possono facilmente immaginare):



Queste non sono le componenti dello spostamento infinitesimo:

$dvecs = (dr; d\theta; d\phi)$

Le ultime due non avrebbero nemmeno le corrette dimensioni fisiche.

Se varia solo $r$ (il punto si sposta lungo il raggio):

$dvecs=drvecu_r$

Se varia solo $\theta$ (il punto si sposta lungo una circonferenza tipo "meridiano" di raggio $r$ il cui angolo al centro è $\theta$):

$dvecs=rd\thetavecu_(\theta)$

Se varia solo $\phi$ (il punto si sposta lungo una circonferenza tipo "parallelo" di raggio $rsin\theta$ il cui angolo al centro è $\phi$):

$dvecs=rsin\thetad\phivecu_(\phi)$

In definitiva:

$dvecs=drvecu_r+rd\thetavecu_(\theta)+rsin\thetad\phivecu_(\phi)$

P.S.
L'immagine che hai allegato è tutt'altro che amichevole.

[brownbetty1]

ciao, grazie per aver risposto.

Riguardo alla spiegazione degli spostamenti infinitesimi, sei stato chiarissimo. Solo che non capisco ancora una cosa. Se

$dvecs=(dr;dθ;dϕ)$

non è il vettore spostamento infinitesimo, allora, nel membro centrale dell'equazione precedente alla (2.41) della seconda foto, che cosa sono $dr$, $dθ$ e $dϕ$ ? E non capisco anche perché parziali di $V$ sono scritte in quel modo nel membro a sinistra di tale equazione, e come si fa a passare da tale equazione alla (2.41).

Grazie ancora.

[gordnbrn]

In coordinate cartesiane ortogonali:

$vec(\nabla)V=(delV)/(delx)veci+(delV)/(dely)vecj+(delV)/(delz)veck$

$dvecs=dxveci+dyvecj+dzveck$

$dV=(delV)/(delx)dx+(delV)/(dely)dy+(delV)/(delz)dz=vec(\nabla)V*dvecs$

La variazione infinitesima $dV$ non dipende dalla terna di versori scelti. Quindi, se si esprime lo spostamento infinitesimo rispetto alla terna di versori sferici:

$dvecs=drvecu_r+rd\thetavecu_(\theta)+rsin\thetad\phivecu_(\phi)$

a patto di considerare le componenti del gradiente in coordinate cartesiane ortogonali rispetto alla medesima terna:

$vec(\nabla)V=(vec(\nabla)V)_rvecu_r+(vec(\nabla)V)_\thetavecu_\theta+(vec(\nabla)V)_\phivecu_\phi$

si può scrivere:

$dV=vec(\nabla)V*dvecs=$

$=[(vec(\nabla)V)_rvecu_r+(vec(\nabla)V)_\thetavecu_\theta+(vec(\nabla)V)_\phivecu_\phi]*[drvecu_r+rd\thetavecu_(\theta)+rsin\thetad\phivecu_(\phi)]=$

$=(vec(\nabla)V)_rdr+(vec(\nabla)V)_\thetard\theta+(vec(\nabla)V)_\phirsin\thetad\phi$

Ma in coordinate sferiche:

$dV=(delV)/(delr)dr+(delV)/(del\theta)d\theta+(delV)/(del\phi)d\phi$

e quindi:

$(vec(\nabla)V)_rdr+(vec(\nabla)V)_\thetard\theta+(vec(\nabla)V)_\phirsin\thetad\phi=(delV)/(delr)dr+(delV)/(del\theta)d\theta+(delV)/(del\phi)d\phi$

Ora, se solo $drne0$:

$(vec(\nabla)V)_r=(delV)/(delr)$

se solo $d\thetane0$:

$(vec(\nabla)V)_\theta=1/r(delV)/(del\theta)$

se solo $d\phine0$:

$(vec(\nabla)V)_\phi=1/(rsin\theta)(delV)/(del\phi)$

Finalmente:

$vec(\nabla)V=(vec(\nabla)V)_rvecu_r+(vec(\nabla)V)_\thetavecu_\theta+(vec(\nabla)V)_\phivecu_\phi=(delV)/(delr)vecu_r+1/r(delV)/(del\theta)vecu_\theta+1/(rsin\theta)(delV)/(del\phi)vecu_\phi$

"brownbetty":
...che cosa sono $dr$, $dθ$ e $dϕ$...

Sono solo le variazioni infinitesime delle coordinate sferiche mediante le quali, con le relative derivate parziali, è possibile esprimere la variazione infinitesima della funzione.

[brownbetty1]

Ciao, adesso è tutto molto più chiaro. Però vorrei chiarirmi ancora una cosa, una curiosità più che altro. Tu hai scritto che

"gordnbrn":In coordinate cartesiane ortogonali:

$ vec(\nabla)V=(delV)/(delx)veci+(delV)/(dely)vecj+(delV)/(delz)veck $

$ dvecs=dxveci+dyvecj+dzveck $

$ dV=(delV)/(delx)dx+(delV)/(dely)dy+(delV)/(delz)dz=vec(\nabla)V*dvecs $

Allora nel caso di $dV$ in coordinate sferiche, come fai a scrivere che

$dV=(delV)/(delr)dr+(delV)/(del\theta)d\theta+(delV)/(del\phi)d\phi$

con gli stessi passaggi qui sopra (usati per le coordinate cartesiane) ? Cioè, se volessi scrivere quest'ultima equazione come prodotto scalare tra due vettori, di cui uno è il gradiente di $V$, allora l'altro vettore a moltiplicare chi sarebbe ? Visto che

"gordnbrn":[quote="brownbetty"]
...che cosa sono $dr$, $dθ$ e $dϕ$...

Sono solo le variazioni infinitesime delle coordinate sferiche mediante le quali, con le relative derivate parziali, è possibile esprimere la variazione infinitesima della funzione.[/quote]
e se ho capito quello che hai detto finora, allora questo vettore che cerco (se esiste), nel caso delle coordinate sferiche è diverso dal vettore spostamento infinitesimo

$dvecs=drvecu_r+rd\thetavecu_(\theta)+rsin\thetad\phivecu_(\phi)$,

mentre nel caso delle coordinate cartesiane, coincide con il vettore spostamento infinitesimo

$ dvecs=dxveci+dyvecj+dzveck $. Giusto ?

Grazie mille!!

[brownbetty1]

up

[Sk_Anonymous]

"brownbetty":
Cioè, se volessi scrivere quest'ultima equazione come prodotto scalare tra due vettori, di cui uno è il gradiente di $ V $, allora l'altro vettore a moltiplicare chi sarebbe ?

L'altro vettore sarebbe proprio il vettore spostamento infinitesimo

$ dvecs=drvecu_r+rd\thetavecu_(\theta)+rsin\thetad\phivecu_(\phi) $

"brownbetty":e se ho capito quello che hai detto finora, allora questo vettore che cerco (se esiste), nel caso delle coordinate sferiche è diverso dal vettore spostamento infinitesimo

$ dvecs=drvecu_r+rd\thetavecu_(\theta)+rsin\thetad\phivecu_(\phi) $,

mentre nel caso delle coordinate cartesiane, coincide con il vettore spostamento infinitesimo

$ dvecs=dxveci+dyvecj+dzveck $. Giusto ?

Tieni presente che un sistema di riferimento cartesiano è un po' diverso da un sistema di riferimento sferico.
In particolare, in un sistema sferico le coordinate non coincidono con le componenti.
Di fatto, anche la terna di versori $ \vec u_x, \vec u_y, \vec u_z $ ( o $ \vec i, \vec j, \vec k $ ) funziona in maniera differente dalla terna $ \vec u_r, \vec u_{gamma}, \vec u_{phi} $, perché la prima costituisce una base globale, mentre la seconda una base locale, cioè la direzione e il verso dei tre versori varia da punto a punto (ma qui mi fermo, prima di addentrarmi in un territorio che non conosco bene )

Queste distinzioni vanno fatte, più in generale, per qualsiasi sistema di riferimento curvilineo (polare, cilindrico, sferico etc.)

Dai un occhiata anche qui: https://it.m.wikipedia.org/wiki/Coordinate_curvilinee

[brownbetty1]

Ciao v3ctor. Insomma, ci vorrebbe un bel approfondimento sui sistemi di riferimento: ti ringrazio per avermi indicato una strada da percorrere in tal senso.

Ringrazio di nuovo gordnbrn, per la pazienza avuta nello spiegarmi il funzionamento delle formule, che è la cosa più importante per me in questo momento.