In cerca di un teorema sui commutatori
conoscete un teorema che permetta di stimare potenze di polinomi in termini del commutatore delle sue indeterminate?
più precisamente il mio problema è questo:
ho 2 spazi di polinomi $mathbb(R)[x_1,x_2,x_3]$ e $mathbb(R)[y_1,y_2,y_3]$, entrambi dotati di un prodotto interno.
il primo spazio è commutativo in relazione a questo prodotto, per il secondo vale $[y_i,y_j]=alpha epsilon_(i,j,k) y_k$.
(indico con $epsi_(i,j,k)$ il simbolo di levi civita, comunque il valore del commutatore non è ora importante).
quello che vorrei, una volta definito l'operatore lineare $f$, tale che $f(x_i)=f(y_i)$, è stimare $|f(v^n)-f(v)^n|$, per $v in mathbb(R)[x_1,x_2,x_3]$.
purtroppo ad ora le stime a cui sono arrivato sono addirittura dell'ordine dell'esponenziale di $n$...
più precisamente il mio problema è questo:
ho 2 spazi di polinomi $mathbb(R)[x_1,x_2,x_3]$ e $mathbb(R)[y_1,y_2,y_3]$, entrambi dotati di un prodotto interno.
il primo spazio è commutativo in relazione a questo prodotto, per il secondo vale $[y_i,y_j]=alpha epsilon_(i,j,k) y_k$.
(indico con $epsi_(i,j,k)$ il simbolo di levi civita, comunque il valore del commutatore non è ora importante).
quello che vorrei, una volta definito l'operatore lineare $f$, tale che $f(x_i)=f(y_i)$, è stimare $|f(v^n)-f(v)^n|$, per $v in mathbb(R)[x_1,x_2,x_3]$.
purtroppo ad ora le stime a cui sono arrivato sono addirittura dell'ordine dell'esponenziale di $n$...
Risposte
Prova a scrivere un po' di contesto in più, perché sono concetti poco comuni e non credo ci sia una risposta immediata.
un errore di scrittura: l'operatore è definito in questa maniera: $f(x_i)=y_i$.
di contesto in più ce n'è poco... ricordo giusto la definizione di commutatore:
$[x_i,x_j]=x_ix_j-x_jx_i=0 $ (lo spazio è commutativo)
$[y_i,y_j]=y_iy_j-y_jy_i ne 0 $ (lo spazio non è commutativo)
fondamentalmente il commutatore misura la "non commutatività" di uno spazio.
sempre continuando a parlare in maniera molto informale, mi chiedevo se c'erano in giro dei teoremi che permettessero di stimare l'errore che commetto trattando il secondo spazio come se fosse commutativo, quando considero delle potenze di vettori.
di contesto in più ce n'è poco... ricordo giusto la definizione di commutatore:
$[x_i,x_j]=x_ix_j-x_jx_i=0 $ (lo spazio è commutativo)
$[y_i,y_j]=y_iy_j-y_jy_i ne 0 $ (lo spazio non è commutativo)
fondamentalmente il commutatore misura la "non commutatività" di uno spazio.
sempre continuando a parlare in maniera molto informale, mi chiedevo se c'erano in giro dei teoremi che permettessero di stimare l'errore che commetto trattando il secondo spazio come se fosse commutativo, quando considero delle potenze di vettori.
OT: in che settore si utilizzano questi concetti!?
"Lorin":
OT: in che settore si utilizzano questi concetti!?
mah... algebre di lie, fisica matematica, spazi di funzioni...
io al momento mi sto occupando di fluidodinamica.
riesumo queto post
in che senso
''il commutatore misura la "non commutatività" di uno spazio.''?
sarò io che non uso ancora questa terminologia....un altro campo in cui si usano i commutatori è MQ
in che senso
''il commutatore misura la "non commutatività" di uno spazio.''?
sarò io che non uso ancora questa terminologia....un altro campo in cui si usano i commutatori è MQ
nel senso del principio di heisenberg, se parliamo di meccanica quantistica.
il commutatore di due operatori dice l'errore che fai applicandoli in un ordine o nell'altro.
il commutatore di due operatori dice l'errore che fai applicandoli in un ordine o nell'altro.
il commutatore è:
$[A,B]= AB - BA$
ti trovi?
quindi se io prendo $x$ (posizione) e $p$ (quantità di moto) mi dice l'errore che faccio nel mettere prima $x$ e poi $p$?
(anche se credo di aver preso l'esempio meno giusto con $x$ e $p$ poichè non commutano se non sbaglio...)
$[A,B]= AB - BA$
ti trovi?
quindi se io prendo $x$ (posizione) e $p$ (quantità di moto) mi dice l'errore che faccio nel mettere prima $x$ e poi $p$?
(anche se credo di aver preso l'esempio meno giusto con $x$ e $p$ poichè non commutano se non sbaglio...)
non proprio.
ti dice l'errore, o forse in maniera più corretta la differenza, tra applicare prima $x$ e poi $p$ e applicare prima $p$ e poi $x$.
non un errore relativo a qualche misura corretta a priori.
ti dice l'errore, o forse in maniera più corretta la differenza, tra applicare prima $x$ e poi $p$ e applicare prima $p$ e poi $x$.
non un errore relativo a qualche misura corretta a priori.
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