Impulso di Dirac
Ciao a tutti, rivedendo le nozioni di Controlli Automatici (dal libro Fondamenti di Controlli Automatici ,Autore : Paolo Bolzern) mi sono imbattuto in un dubbio, quando parla del cosiddetto "impulso di Dirac" lo definisce, senza entrare troppo nello specifico, in questo modo:
e in seguito dice che , se l'impulso fosse una funzione definita in senso classico, la 2° equazione sarebbe incompatibile con la prima, ma visto che questa funzione è introdotta come una funzione nel senso delle distribuzioni, non c'è questa incompatibilità.
La mia domanda è questa:
non voglio sapere nulla sull'impulso di Dirac e sulle distribuzioni, ma vorrei sapere perchè ci sarebbe una incompatibilità se stessimo nel dominio delle funzioni definite in senso classico.
Spero di essere stato chiaro.
Vi ringrazio per l'attenzione,
Fabrizio!
e in seguito dice che , se l'impulso fosse una funzione definita in senso classico, la 2° equazione sarebbe incompatibile con la prima, ma visto che questa funzione è introdotta come una funzione nel senso delle distribuzioni, non c'è questa incompatibilità.
La mia domanda è questa:
non voglio sapere nulla sull'impulso di Dirac e sulle distribuzioni, ma vorrei sapere perchè ci sarebbe una incompatibilità se stessimo nel dominio delle funzioni definite in senso classico.
Spero di essere stato chiaro.
Vi ringrazio per l'attenzione,
Fabrizio!
Risposte
Da quello che mi ricordo la ragione è che definire l'impulso di Dirac (anche nota come delta di Dirac) come una funzione porta a delle incongruenze. Infatti se consideri la proprietà
$\int f(x) \delta(x) dx = f(0)$
valida per le $f$ "regolari", ti accorgi che la cosa non può funzionare considerando l'impulso come una funzione. Pensa ad esempio alla quantità
$\int e^{-\lambda x^2} \delta(x) dx$
con $\lambda > 0$. Si ha che il risultato non dipende da $\lambda$ e quindi
$\lim_{\lambda -> \infty} \int e^{-\lambda x^2} \delta(x) dx = \lim_{\lambda -> \infty} 1 = 1$
Ora viene il problema. Infatti il teorema della convergenza dominata di Lebesgue ci dice che possiamo portare il limite dentro all'integrale a patto di trovare un maggiorante definitivamente (rispetto a $\lambda$) integrabile. Siccome la funzione costante $1$ è un maggiorante integrabile per la gaussiana, moltiplicata per l'impulso, possiamo portare il limite dentro al segno di integrale e otteniamo
$\int \lim_{\lambda -> \infty} e^{-\lambda x^2} \delta(x) dx = 0$
Ma per il teorema i due risultati dovrebbero essere uguali e quindi abbiamo ottenuto l'assurdo: l'impulso non può essere una funzione.
$\int f(x) \delta(x) dx = f(0)$
valida per le $f$ "regolari", ti accorgi che la cosa non può funzionare considerando l'impulso come una funzione. Pensa ad esempio alla quantità
$\int e^{-\lambda x^2} \delta(x) dx$
con $\lambda > 0$. Si ha che il risultato non dipende da $\lambda$ e quindi
$\lim_{\lambda -> \infty} \int e^{-\lambda x^2} \delta(x) dx = \lim_{\lambda -> \infty} 1 = 1$
Ora viene il problema. Infatti il teorema della convergenza dominata di Lebesgue ci dice che possiamo portare il limite dentro all'integrale a patto di trovare un maggiorante definitivamente (rispetto a $\lambda$) integrabile. Siccome la funzione costante $1$ è un maggiorante integrabile per la gaussiana, moltiplicata per l'impulso, possiamo portare il limite dentro al segno di integrale e otteniamo
$\int \lim_{\lambda -> \infty} e^{-\lambda x^2} \delta(x) dx = 0$
Ma per il teorema i due risultati dovrebbero essere uguali e quindi abbiamo ottenuto l'assurdo: l'impulso non può essere una funzione.
Grazie mille per la risposta....io intanto avevo postato la domanda anche su un altro forum (electroportal.net) con il quale mi trovo altrettanto bene...
e mi hanno dato le seguenti risposte...le posto in modo che possano essere utili anche a qualche altra persona...:
1)Vedila così: una funzione nel senso classico che sia nulla ovunque e infinita solo in un punto (in zero) non può avere integrale finito, ossia l'area sottesa dalla curva della "funzione" non può essere 1. (by cabuona)
2) by brabus di electroportal.net
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Grazie Ancora!!!
Spero che questo post possa servire a qualcun altro...
e mi hanno dato le seguenti risposte...le posto in modo che possano essere utili anche a qualche altra persona...:
1)Vedila così: una funzione nel senso classico che sia nulla ovunque e infinita solo in un punto (in zero) non può avere integrale finito, ossia l'area sottesa dalla curva della "funzione" non può essere 1. (by cabuona)
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Grazie Ancora!!!
Spero che questo post possa servire a qualcun altro...
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