Impostazione Integrale Triplo
Buon pomeriggio, mi trovo in difficoltà con un esercizio su un integrale triplo.
Il testo è questo:
Mi trovo principalmente in difficoltà nell'impostare l'integrale, cioè a capire che forma abbia, e non riesco a capire come dividerlo. Ho proceduto a farlo diventare: $ int_(-1)^(1) dz int int_(x^2+y^2<=1) (x^2+y^2) dxdy $, ma da qui in poi non so più che fare, forse trasformandolo in coordinate sferiche o polari mi risulterebbe più facile, ma non ne sono sicuro.
Impostando l'insieme T in coordinate polari mi ritrovo: $ -1<= z <=1, -1<=rho <= 1 $, e non so poi come muovermi per l'integrale.
Mi basterebbe che qualcuno mi aiutasse a capire che forma abbia questo insieme, e come poi potrei dividere l'integrale doppio, ne sarei veramente grato, sto tentando di fare più esercizi possibili in vista del prossimo appello di Analisi 2.
Grazie mille!
Il testo è questo:
Sia T = $ {(x,y,z) in R^3 : -1<= z <= 1, x^2+y^2 <=1} $. Calcolare l'integrale: $ int int int_T (x^2+y^2)dx dy dz $
Mi trovo principalmente in difficoltà nell'impostare l'integrale, cioè a capire che forma abbia, e non riesco a capire come dividerlo. Ho proceduto a farlo diventare: $ int_(-1)^(1) dz int int_(x^2+y^2<=1) (x^2+y^2) dxdy $, ma da qui in poi non so più che fare, forse trasformandolo in coordinate sferiche o polari mi risulterebbe più facile, ma non ne sono sicuro.
Impostando l'insieme T in coordinate polari mi ritrovo: $ -1<= z <=1, -1<=rho <= 1 $, e non so poi come muovermi per l'integrale.
Mi basterebbe che qualcuno mi aiutasse a capire che forma abbia questo insieme, e come poi potrei dividere l'integrale doppio, ne sarei veramente grato, sto tentando di fare più esercizi possibili in vista del prossimo appello di Analisi 2.
Grazie mille!
Risposte
Ciao! L'insieme è un cilindro avente asse di simmetria l'asse $z$ e di altezza $2$; te ne accorgi perché la condizione $x^2+y^2 \leq 1$ è un cerchio di centro l'origine e raggio $1$ nel piano $xy$ e tale condizione viene "spostata" lungo l'asse $z$ per tutti i valori $-1 \leq z \leq 1$.
L'impostazione iniziale con l'integrale in $\text{d}z$ come ultimo integrale da calcolare è corretta, per l'integrale doppio interno l'idea è corretta ma è scritto male. Innanzitutto, $\rho \geq 0$ perché è un raggio, quindi da $\rho^2 \leq 1$ segue $0 \leq \rho \leq 1$, inoltre hai ignorato l'insieme in cui varia $\theta$ che, in questo caso, è $0 \leq \theta \leq 2\pi$ in quanto non ci sono condizioni su $\theta$ dall'insieme.
Riprova! Comunque consiglio un ripasso della teoria, sembra che tu stia procedendo per tentativi e non va bene.
L'impostazione iniziale con l'integrale in $\text{d}z$ come ultimo integrale da calcolare è corretta, per l'integrale doppio interno l'idea è corretta ma è scritto male. Innanzitutto, $\rho \geq 0$ perché è un raggio, quindi da $\rho^2 \leq 1$ segue $0 \leq \rho \leq 1$, inoltre hai ignorato l'insieme in cui varia $\theta$ che, in questo caso, è $0 \leq \theta \leq 2\pi$ in quanto non ci sono condizioni su $\theta$ dall'insieme.
Riprova! Comunque consiglio un ripasso della teoria, sembra che tu stia procedendo per tentativi e non va bene.
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