Impostazione integrale per il calcolo dell'incognita iperstatica

[Yaroooo]

Buongiorno, non riesco a capire come impostare l'integrale per il calcolo dell'incognita iperstatica.

Ho questo esercizio:



Che mi da come risultato:

Sistema principale



Sistema supplementare



Qui risolve l'integrale



Però non riesco a capire quali valori o funzioni integra.

Ho provato a cercare, ho ripassato gli integrali, ma probabilmente non ho capito qualcosa. :cry:

Potrebbe qualcuno gentilmente aiutarmi a impostarlo passo a passo? Riesco a ricavare tutti i valori, e a calcolare il sistema reale dopo(sapendo il risultato dell'integrale), ma mi manca proprio questo integrale per completare l'esercizio.

[ciampax]

Devo dirti la verità, non conosco bene questi argomenti. Suppongo che quelli all'interno dell'integrale siano dei momenti di qualche tipo (vista la tipologia di sistema meccanico presente), ma il campo prettamente ingegneristico non è qualcosa che bazzico bene (e tra l'altro una parte delle immagini che hai postato è "sfasata" e non si legge bene).

Vediamo se qualcuno è in grado di darti una risposta in merito.

[Studente Anonimo]

Direi che quella che hai postato più che una risoluzione da fornire come esempio è una brutta copia (scritta male, aggiungerei). Con questo non intendo dire che il contenuto intrinseco non sia corretto (anche perché non ho tempo da perdere nel decifrarlo) ma proprio la forma con cui è presentato, pessima (comunque ne so qualcosa, di docenti così ce ne sono altri, purtroppo)!!

Innanzitutto si nota che tale struttura è caricata esclusivamente verticalmente e non essendovi aste inclinate non c'è alcun motivo perché vi siano reazioni vincolari orizzontali. Alla luce di ciò, segue che l'asta

[math]BD[/math]

è caricata solamente assialmente, ossia presenta solo sforzo normale (niente taglio e niente momento flettente); d'altro canto, l'asta

[math]AC\\[/math]

presenta solamente taglio e momento flettente.

Dunque, considerando tali fatti, oltre al fatto che trattandosi di una struttura una volta iperstatica dobbiamo considerare una struttura isostatica principale (ad esempio, come suggerito dal tuo docente, sopprimendo il carrellino in

[math]C[/math]

), svincolandola otteniamo quanto indicato in figura:

Ora, seguendo la convenzione dei segni indicata in figura, imponiamo gli equilibri alla
traslazione verticale e alla rotazione attorno ad

[math]A[/math]

del tratto

[math]AC[/math]

ricavando tutte le
reazioni vincolari in funzione dell'incognita iperstatica

[math]X\\[/math]

. In particolare, abbiamo

[math]\begin{cases} V_A + V_B + X - 2\,q\,2\,b - q\,2\,b = 0 \\ V_B\,2\,b + X\,4\,b - 2\,q\,2\,b\,b - q\,2\,b\,3\,b = 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} V_A = q\,b + X \\ V_B = 5\,q\,b - 2X \end{cases}\\[/math]

.


A questo punto, percorrendo ogni tratto della struttura come in figura:

siamo nelle condizioni di determinare le relative equazioni di

[math]N[/math]

,

[math]T[/math]

ed

[math]M\\[/math]

:

[math]\begin{aligned} & BD : \begin{cases} N_1(s) = 5\,q\,b-2X \\ T_1(s) = 0 \\ M_1(s) = 0 \end{cases} \; \; \; per \; s \in [0,\,4b] \; ; \\ & AB : \begin{cases} N_2(s) = 0 \\ T_2(s) = q\,b + X - 2\,q\,s \\ M_2(s) = (q\,b + X)\,s - 2\,q\,s\frac{s}{2} \end{cases} \; \; \; per \; s \in [0,\,2b] \; ; \\ & BC : \begin{cases} N_3(s) = 0 \\ T_3(s) = - X + q\,s \\ M_3(s) = X\,s - q\,s\frac{s}{2} \end{cases} \; \; \; per \; s \in [0,\,2b] \; . \end{aligned}\\[/math]

.

Arrivati a questo punto, al solito, occorre scrivere un'equazione di congruenza per determinare l'incognita iperstatica

[math]X[/math]

. Dunque, considerando l'intera struttura dotata solamente di rigidezza flessionale

[math]E\,J\\[/math]

, per il principio dei lavori virtuali, si ha

[math]\small ℒ_{vi} = ℒ_{ve} \; \Leftrightarrow \; \int_0^{4b} \frac{\partial M_1(s)}{\partial X}\frac{M_1(s)}{E\,J}ds + \int_0^{2b} \frac{\partial M_2(s)}{\partial X}\frac{M_2(s)}{E\,J}ds + \int_0^{2b} \frac{\partial M_3(s)}{\partial X}\frac{M_3(s)}{E\,J}ds = 0 \,, \\[/math]

dove, bada bene, le equazioni di

[math]M_1,\,M_2,\,M_3[/math]

le abbiamo appena ricavate, sono note!!
A conti fatti si trova che tale equazione è verificata se e soltanto se

[math]X = \frac{5}{8}q\,b \; \; \Rightarrow \; per \; q = 10000\frac{N}{m}, \; b = 1\,m, \; \; X = 6250\,N \; .\\[/math]

Nota

[math]X[/math]

sono note sia le reazioni

[math]N,\,T,\,M[/math]

, che puoi dunque diagrammare, che le reazioni vincolari esterne. Naturalmente, a questo punto, ha senso sostituire i dati numerici non essendoci
più il rischio di sbagliare nel fare i conti dato che lavorando algebricamente si può avere costante-
mente la situazione sotto controllo.


P.S.: se vuoi proprio utilizzare la formuletta preconfezionata, si ha

[math]M^{(0)}(s):= M(s) |_{X=0}[/math]

,

[math]M^{(1)}(s):= M(s)|_{X=u,\,q=0}[/math]

. Tra l'altro non capisco perché porre

[math]X=u[/math]

invece che banalmente

[math]X=1[/math]

, bha... misteri delle formulette calate dall'alto. :)