Impostazione Integrale

[DCLeonardo22]

Salve a tutti avrei da risolvere questo Integrale :\(\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\:\frac{\sqrt{x^2+4}-\left|x\right|}{x^2+1}dx \) che poi io ho trasformato in questo modo : \(\displaystyle 2\int _0^{+\infty }\:\frac{\sqrt{x^2+4}-x}{x^2+1}dx \) ma non riesco a risolverlo , ho provato tutti i tipi di sostituzioni ma non mi portano a niente..Qualcuno me lo può anche solo impostare dicendomi che devo fare poi a calcolarlo ci penso io..

[donald_zeka]

Cosa vuol dire "risolvere"? Devi vedere se è convergente o calcolare proprio a quale valore converge?

[DCLeonardo22]

devo proprio vedere a che valore converge

[donald_zeka]

L'integrale si scompone come $sqrt(4+x^2)/(1+x^2)-x/(1+x^2)$, il secondo termine è semplice da integrare...il primo mi sembra abbastanza complicato...prova a rifare la domanda sul forum però mettendo come titolo "integrale indefinito", di sicuro qualcuno più esperto di me sugli integrali saprà aiutarti.

[anto_zoolander]

Questo genere di integrali sono odiosi.
Dopo questo colpo di capitan ovvio, vedo di aiutarti.

$intsqrt(x^2+4)/(x^2+1)dx, forallx inRR$

comincio ponendo $x=2tanz$ considerando $zin(-pi/2,pi/2),x inRR$

$dx=2(tan^2z+1)dz$ e metto tutta la minestra nell'integrale

$2intsqrt(4+4tan^2z)/(4tan^2+1)*(tan^2z+1)dz => 4intsqrt(tan^2+1)/(4tan^2+1)*(tan^2z+1)dz$

nota che $tan^2z+1=sec^2z$

Tutto il resto del procedimento, che è abbastanza tortuoso, te lo metto sotto spoiler.

$4int(|secz|sec^2z)/(4tan^2+1)dz$ la secante è strettamente positiva per $zin(-pi/2,pi/2)$

$4intsec^3z/((4sin^2z+cos^2z)/cos^2z)dz => 4int(cosz)/((cos^2z)(3sin^2z+1))dz => 4intcosz/((1-sin^2z)(3sin^2z+1))dz$

adesso poniamo $y=sinz$ calcolando il differenziale $dy=coszdz$

notando che se $-pi/2 -1
$4int1/((1-y^2)(3y^2+1))dy => 4int1/((1-y)(1+y)(3y^2+1))dy$

quì si passa per i fratti semplici, ti scrivo la soluzione da me trovata:

$4/((1-y)(1+y)(3^2+1))=1/(2(1-y))+1/(2(1+y))+3/(3y^2+1)$

${(A=1/2),(B=1/2),(C=0),(D=3):}$ questi sono i vari valori che ho trovato

dunque $int(1/(2(1+y))-1/(2(y-1))+3/(3y^2+1))dy = 1/2ln|1+y|-1/2ln|y-1|+3int1/(3y^2+1)dy+c$

sistemando un po' le cose $1/2ln|(y+1)/(y-1)|+sqrt3int1/((ysqrt3)^2+1)sqrt3dy+c$

$1/2ln|(y+1)/(y-1)|+sqrt3arctan(ysqrt3)+c$ ora cerchiamo di tornare in $x$

Intanto $y=sinz$ e poi $z=arctan(x/2)$ ma allora $y=sin(arctan(x/2))=x/sqrt(x^2+4)$

$1/2ln|(x+sqrt(x^2+4))/(x-sqrt(x^2+4))|+sqrt3arctan((xsqrt3)/sqrt(x^2+4))+c, forallx inRR$

l'altro integrale è $-intx/(x^2+1)dx => -1/2int(2x)/(x^2+1)dx => -1/2ln(x^2+1)+c$

adesso ricomponiamo tutto...

$2lim_(M->+infty)[1/2ln|(x+sqrt(x^2+4))/(x-sqrt(x^2+4))|+sqrt3arctan((xsqrt3)/sqrt(x^2+4))-1/2ln(x^2+1)]_{0}^{M}$

che è uguale a $2lim_(M->+infty)[1/2ln|(M+sqrt(M^2+4))/(M-sqrt(M^2+4))|+sqrt3arctan((Msqrt3)/sqrt(M^2+4))-1/2ln(M^2+1)]$

$2lim_(M->+infty)[1/2ln|(M+sqrt(M^2+4))/((M-sqrt(M^2+4))(M^2+1))|+sqrt3arctan((Msqrt3)/sqrt(M^2+4))]$

Il mio risultato del limite è $(2pi)/sqrt3$ e dunque il valore dell'integrale, se tutto è corretto, dovrebbe essere:

$int_{-infty}^{+infty}(sqrt(x^2+4)-|x|)/(x^2+1)dx=(2pi)/sqrt3$

spero di non aver fatto errori e di esserti stato d'aiuto.

[DCLeonardo22]

Grazie Tante