Impostazione di calcolo dell'integrale triplo seguente.

[ellecomelupo]

Salve a tutti,vi scrivo perché vorrei un parere riguardo un esercizio,prima però vorrei chiarire che ho provato ad impostare l'integrale ottenendo scarsi risultati.Ho alcuni dubbi in materia che non mi lasciano avanzare sicuro.

Vi espongo l'esercizio :

$ A={(x,y,z) in RR^3 | 7- sqrt(4x^2+5y^2)<=z<=14 , 4x^2+5y^2<4+z} $

devo determinare $B in RR^2 $ e due funzioni a,b : $ Brarr RR $ tali che : $ int int int_A f(x,y,z) dx dy dz = int int_B(int_(a(x,y))^(b(x,y))f(x,y,z)dz)dx dy $

Dovrei impostarlo sia per fili che per sezioni (per comodità ho riportato solo la parte per fili).

Ho avanzato l'ipotesi di porre come estremanti di integrazione $a(x,y)=7-sqrt(4x^2+5y^2)$ e come $b(x,y) = 14 $ però mi lascia comunque il dubbio il paraboloide a destra che comunque contiene z.

Vi sarei molto grato se mi aiutaste un attimo ad uscirne...
Grazie!

[previ91]

Ciao ,

sto facendo gli stessi esercizi , quindi provo a darti una mano ma non ti assicuro niente

Come hai visto la z è compresa tra due funzioni ; tipica situazione dell'integrazione per fili e la tua impostazione dovrebbe essere giusta.

Ora per determinare B , devi capire che B è la proiezione del dominio di integrazione sul piano xy(poichè integri per fili paralleli all'asse z) , quindi su quel piano z è nulla e non ti da alcun problema perchè "sparisce" ; l'insieme B diventa : $B={(x,y)\in R^2:4x^2 + 5y^2 < 4}$ ; questa è la parte interna di un'ellisse di equazione $x^2 + (y^2)/(4/5) = 1$.

Da qui , dopo aver risolto bene l'integrazione per fili , potresti impostare delle coordinate ellittiche nel piano , cosa ne dici ??

Aspetto altre conferme

[ellecomelupo]

Ti ringrazio per la risposta!si,il tuo ragionamento anche a me sembra giusto,difatti avevo ipotizzato un'eventuale risoluzione simile alla tua,solo che mi sembrava troppo semplice!Perché ipotizzavo che ci fosse il bisogno di trovare una soluzione intersecando il cono ed il paraboloide.Infatti riscontro molti problemi nel suddividere gli intervalli di integrazione in subintervalli.

Sei stato molto gentile

[previ91]

Di niente figurati !!

Ti capisco sono esercizi molto vari che non hanno un modo standard per essere risolti bisogna farne tanti e "prenderci la mano"!

In bocca al lupo

[ellecomelupo]

Beh in effetti sono esercizi molto vari







Crepi e grazie ancora

[Quinzio]

"ellecomelupo":Ti ringrazio per la risposta!si,il tuo ragionamento anche a me sembra giusto,difatti avevo ipotizzato un'eventuale risoluzione simile alla tua,solo che mi sembrava troppo semplice!Perché ipotizzavo che ci fosse il bisogno di trovare una soluzione intersecando il cono ed il paraboloide.Infatti riscontro molti problemi nel suddividere gli intervalli di integrazione in subintervalli.

Sei stato molto gentile

Infatti è quello che devi fare, cioè intersecare paraboloide e cono.
Hai una zona "interna" in cui l'estremo superiore (per l'asse z) è 14 e quello inferiore è il cono.
Poi una zona esterna in cui l'estremo superiore è sempre 14, ma quello inferiore è il paraboloide.
Quindi devi trovare l'intersezione tra i due (paraboloide e cono), che è a "z costante".

[ellecomelupo]

Dunque la soluzione non corrisponde a quella da me ipotizzata all'inizio?
Mi spiego meglio:

Per trovare gli estremi di integrazione nel caso dell'integrazione per fili dovrei porre come estremante superiore 14 e poi intersecare il cono ed il paraboloide così da trovare un ulteriore valore da porre come inferiore?

ovvero, $ x^2=1+1/4z-5y^2 $
$ 7-sqrt(1+1/4z-5y^2) $ allora $ 7-1+1/4z-5y^2
Oppure $ 7-sqrt(4x^2+5y^2)<=4x^2+5y^2-4 $ ?

Ho una gran confusione allora!

[ellecomelupo]

Up!

[gio73]

Ciao lupo, è un po' che sto dietro al tuo esercizio, ma non è mi ancora chiaro, non vorrei confonderti le idee con le mie domande... nel caso avvisami e mi faccio da parte.
Allora a me sembra che paraboloide e cono sono un po' particolari perchè se li taglio con piani perpendicolari all'asse z ottengo delle ellissi non delle circonferenze, poi mi sembra (ma potrei sbagliarmi) che il cono abbia il vertice nel punto $V(0;0;-4)$ e il paraboloide nel punto $V'(0;0,7)$, la regione di spazio che a noi interessa sta dentro il cono e fuori dal paraboloide, mi sembra però che le intersezioni dell'uno e dell'altro con il piano $z=14$ non coincidano, il tappo della nostra regione è dunque una sorta di corona circolare le cui frontiere invece di essere circonferenze sono ellissi, confermi?

[previ91]

Gio : sempre in riferimento a questo esercizio , dato che anche io ci ho provato un pò di volte ad uscirci , potrei farti una domanda ??

Io sto cercando di risolverlo proprio praticamente anche se non è chiarissimo il dominio. Quando puoi ti faccio la domanda che credo possa aiutare anche ellecomelupo.

[Quinzio]

Per "uscirne" da questo esercizio, intanto bisogna avere un "feeling" del dominio.
Per fare ciò si possono prendere delle sezioni verticali del volume, es: $x=0$, e $y=0$.
Se prendo $y=0$ ottengo $7-|x| Ora se traccio un grafico bidimensionale, con i due assi x, z, vedo che ci sono due semirette che partono da $(0,7)$ e "scendono", che sarebbe la sezione del cono. Poi c'è la parabola rivolta verso l'alto.
L'intersezione tra retta e parabola si trova con le soluzioni di $x^2+|x|-11=0$.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... -4%2Bx%5E2
Da qui, bisogna impostare due integrali, un che ha "sotto" il cono e uno che ha "sotto" il paraboloide.
"

[ellecomelupo]

"gio73":Ciao lupo, è un po' che sto dietro al tuo esercizio, ma non è mi ancora chiaro, non vorrei confonderti le idee con le mie domande... nel caso avvisami e mi faccio da parte.
Allora a me sembra che paraboloide e cono sono un po' particolari perchè se li taglio con piani perpendicolari all'asse z ottengo delle ellissi non delle circonferenze, poi mi sembra (ma potrei sbagliarmi) che il cono abbia il vertice nel punto $V(0;0;-4)$ e il paraboloide nel punto $V'(0;0,7), la regione di spazio che a noi interessa sta dentro il cono e fuori dal paraboloide, mi sembra però che le intersezioni dell'uno e dell'altro con il piano $z=14$ non coincidano, il tappo della nostra regione è dunque una sorta di corona circolare le cui frontiere invece di essere circonferenze sono ellissi, confermi?

Hai indovinato,è una sorta di corona a circonferenza ellittica,poiché il cono è rivolto verso l'alto con il vertice.Dunque l'intersezione fra paraboloide e cono è appunto questa sorta di corona.

Il problema che mi pongo io è più che altro che da una parte la z ha come estremo superiore 14 ma come già ho provato a sviluppare più volte,l'estremo inferiore non è definito con precisione per colpa dell'intersezione che non riesco ad apprendere.

[ellecomelupo]

"Quinzio":Per "uscirne" da questo esercizio, intanto bisogna avere un "feeling" del dominio.
Per fare ciò si possono prendere delle sezioni verticali del volume, es: $x=0$, e $y=0$.
Se prendo $y=0$ ottengo $7-|x| Ora se traccio un grafico bidimensionale, con i due assi x, z, vedo che ci sono due semirette che partono da $(0,7)$ e "scendono", che sarebbe la sezione del cono. Poi c'è la parabola rivolta verso l'alto.
L'intersezione tra retta e parabola si trova con le soluzioni di $x^2+|x|-11=0$.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... -4%2Bx%5E2
Da qui, bisogna impostare due integrali, un che ha "sotto" il cono e uno che ha "sotto" il paraboloide.
"

Direi che questa è un'ottima alternativa alla risoluzione!Grazie mille

E grazie a tutti coloro che hanno perso tempo.

Accetto anche altri metodi risolutivi,sempre se l'esercizio permette una altra risoluzione!Anche perché vedo che non sono l'unico ad avere dubbi di questo genere.

[Quinzio]

Boh, guarda che praticamente è finito l'esercizio. Comunque il problema non è chiaro al 100% perchè non c'è un integrale unico per fili verticali che riempia tutto il dominio A. Difatti bisogna fare 2 integrali.... La funzione $a(x,y)$ che vuole il problema è una funzione a tratti.

[ellecomelupo]

"Quinzio":Boh, guarda che praticamente è finito l'esercizio. Comunque il problema non è chiaro al 100% perchè non c'è un integrale unico per fili verticali che riempia tutto il dominio A. Difatti bisogna fare 2 integrali.... La funzione $a(x,y)$ che vuole il problema è una funzione a tratti.

Beh,se l'esercizio non ha praticamente soluzioni alternative che potrebbero rappresentarlo da una "angolatura" differente allora direi che ci siamo e ti ringrazio.

In conclusione converrebbe sempre porre il dominio in due dimensioni,così da interpretare l'andamento e le intersezioni a quanto ho capito.Almeno in casi abbastanza ambigui come questo.

Buona serata allora,grazie per l'aiuto!