Impostare integrali per Gauss-Green

[DSimow]

Ciao a tutti, mi sono bloccato in un'applicazione di Gauss-Green sull'integrale doppio
$ \int\int_{}^{} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $.
Applicando la formula classica
$ \int\int Qx - Py = \oint Pdx + Qdy $
E posto Q = 0, sono arrivato ad un'uguaglianza con questi due integrali.
$ \int\int_{A}^{} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} da = \int_{dA}^{} -\sqrt{x^2+y^2} $.

Uno doppio e uno di linea. Qui sorge il mio dubbio: come integrarli per ottenere risultati uguali?
Il dominio dato dal sistema è:
$ 4 ≤ x^2 + y ^2 ≤ 16 $

$ y ≤ x $

$ y ≤ \frac{x}{\sqrt{3}} $

Penso sia più semplice una parametrizzazione circolare, ma non riesco ad impostarli, ho problemi soprattutto con l'integrale di linea
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie

[DSimow]

Grazie mille, ora provo a fare i quattro integrali! Ho capito il ragionamento e i limiti di integrazione per le prime due curve, ma come hai ricavato le parametrizzazioni di \[ \begin{aligned} & \gamma_3 : \begin{cases} x = t \\ y = t \end{cases} \; \; \; \text{per} \; t \in \left[-2\,\sqrt{2}, \; -\sqrt{2}\right] \; ; \\ . \\ & \gamma_4 : \begin{cases} x = t \\ y = \frac{t}{\sqrt{3}} \end{cases} \; \; \; \text{per} \; t \in \left[\sqrt{3}, \; 2\,\sqrt{3}\right] \; . \end{aligned} \]

?

[DSimow]

Okay ho capito tutti i limiti di integrazione invece per l'integrale doppio questa forma è corretta?
$ \int_{-3pi/4}^{pi/6}\int_{2}^{4} \frac{r*sin(t)}{\sqrt{r^2}} * r drdt $