Impostare integrale doppio dalla base?
Ho come base di questo solido un ellisse sul piano $xy$ di semiassi $10$e$2$, se seziono il solido con piani ORTOGONALI all'asse $x$ ho tutti quadrati. Devo scrivere il dominio di base e impostare l'integrale doppio.
Il dominio di base è:
$-10<=x<=10$
$0<=y<=sqrt(4-4x^2/(100))$ il $D$ della y l'ho spezzato in due per semplificare.
ora devo capire com'è fatto il tetto, se penso alla sezione del solido sul piano $xz$ mi viene un ellisse a metà con semiassi di $10$ e $4$.
quindi la funzione con la quale calcolare l'integrale è un semiellisse del tipo $x^2/(10^2)+y^2/(4^2)=1$?
Il dominio di base è:
$-10<=x<=10$
$0<=y<=sqrt(4-4x^2/(100))$ il $D$ della y l'ho spezzato in due per semplificare.
ora devo capire com'è fatto il tetto, se penso alla sezione del solido sul piano $xz$ mi viene un ellisse a metà con semiassi di $10$ e $4$.
quindi la funzione con la quale calcolare l'integrale è un semiellisse del tipo $x^2/(10^2)+y^2/(4^2)=1$?
Risposte
il dominio l'ho scritto bene, visto che è semplice rispetto a $y$ quando provo ad impostare l'integrale si puo' scrivere x in funzione di y per calcolare il dy???
aiutoo!!!
$\int_{-10}^{10}dx\int_{0}^{sqrt(4-x^2/(25))} sqrt(16-4x^2/(25)) dy$
aiutoo!!!
$\int_{-10}^{10}dx\int_{0}^{sqrt(4-x^2/(25))} sqrt(16-4x^2/(25)) dy$
L'equazione dell'ellisse è la seguente:
$x^2/10^2+y^2/2^2=1$.
Visto che il solido è simmetrico rispetto all'asse x possiamo calcolare la superficie o il volume di metà solido e poi moltiplicare per 2.
Per la superficie:
ogni sezione avrà una superficie "esterna" pari a:
$4*2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2) dx$
dunque, metà solido avrà una superficie pari a :
$int_0^10 4*2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2) dx$
quindi la superficie totale sarà:
$2*int_0^10 4*2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2) dx$
Per il volume...
L'area di ogni sezione sarà:
$(2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2))^2=4*(4-(x^2*4)/10^2)$
quindi, metà solido avrà un volume pari a:
$int_0^10 4*(4-(x^2*4)/10^2)dx$
In totale:
$2*int_0^10 4*(4-(x^2*4)/10^2)dx$
$x^2/10^2+y^2/2^2=1$.
Visto che il solido è simmetrico rispetto all'asse x possiamo calcolare la superficie o il volume di metà solido e poi moltiplicare per 2.
Per la superficie:
ogni sezione avrà una superficie "esterna" pari a:
$4*2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2) dx$
dunque, metà solido avrà una superficie pari a :
$int_0^10 4*2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2) dx$
quindi la superficie totale sarà:
$2*int_0^10 4*2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2) dx$
Per il volume...
L'area di ogni sezione sarà:
$(2*sqrt(4-(x^2*4)/10^2))^2=4*(4-(x^2*4)/10^2)$
quindi, metà solido avrà un volume pari a:
$int_0^10 4*(4-(x^2*4)/10^2)dx$
In totale:
$2*int_0^10 4*(4-(x^2*4)/10^2)dx$
scusa ma non capisco cosa hai fatto, poi per trovare il volume devi cmq impostare un integrale doppio!!!!!! in questo caso il Dominio è y semplice e quindi viene come l' ho scritto io il Dominio! perchè fai solo dx tu???
Per il volume l'integrale sarà triplo:
$2*int_0^10 int_(-sqrt(4-(x^2*4)/10^2))^( sqrt(4-(x^2*4)/10^2)) int_0^(2*sqrt(4-(4*x^2)/10^2)) dz dy dx$
$2*int_0^10 int_(-sqrt(4-(x^2*4)/10^2))^( sqrt(4-(x^2*4)/10^2)) int_0^(2*sqrt(4-(4*x^2)/10^2)) dz dy dx$
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