Impostare coordinate polari
Date le circonferenze: C1 di centro (0,1) e raggio 1 e C2 di centro (0,2) e raggio 2, determinare il valore dell'integrale doppio $ int int 2x/y dxdy $ tra le due circonferenze relativamente al primo quadrante. Come faccio a definire le coordinate polari? Grazie
Risposte
Ma l'integrale dove va calcolato?
corretto
Io continuo a non capire quale sia il dominio di integrazione.
"Bart994":
Date le circonferenze: C1 di centro (0,1) e raggio 1 e C2 di centro (0,2) e raggio 2, determinare il valore dell'integrale doppio $ int int 2x/y dxdy $ tra le due circonferenze relativamente al primo quadrante. Come faccio a definire le coordinate polari? Grazie
l'equazione della prima circonferenza è $x^2+y^2-2y=0$
passando alle coordinate polari si ha $rho^2-2rhosentheta=0$
e quindi l'equazione polare della circonferenza è $rho=2sentheta$
non è difficile verificare che l'altra circonferenza ha equazione polare $rho=4sentheta$
se fai un bel disegnino puoi verificare che per il dominio deve aversi $theta in [0,pi/2]; rho in [2sentheta,4sentheta] $
Grazie mille 
Io sono ancora confuso, l'insieme è la differenza simmetrica delle due circonferenze? O, equivalentemente, dato che la prima è contenuta nella seconda, la seconda circonferenza meno la prima? Perché non calcoli semplicemente l'integrale per le due circonferenze e fai la differenza? Con due semplici trasformazioni lineari ti sposti nei centri delle due circonferenza e calcoli il tutto con semplicità.
@vict85: ah, bene, non sono l'unico. Pensavo di essermi rinc...ito! 
"Bart994":
tra le due circonferenze relativamente al primo quadrante.
io lo interpreto in questo modo: la parte di piano del primo quadrante esterna alla prima circonferenza ed interna alla seconda
Quindi, sostanzialmente dovrebbe essere $D=(C_2\setminus C_1)\cap I$, dove $I indica il primo quadrante. Ok, mi torna.
Comunque non capisco tutto il calcolo delle coordinate polari così presto:
\begin{align} 2\iint_{C_2 - C_1} \frac{x}{y}\,dx dy &= 2\iint_{C_2} \frac{x}{y}\,dx dy - 2\iint_{C_1} \frac{x}{y}\,dx dy \\
&= 2\iint_{C_2} \frac{u}{v-2}\,du dv - 2\iint_{C_1} \frac{w}{z-1}\,dw dz \\
&= 2\int_0^2 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho \cos \vartheta }{\rho \sin \vartheta -2}\,d\theta \biggl]\,d\rho - 2\int_0^1 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho \cos \vartheta }{\rho \sin \vartheta -1}\,d\theta \biggl]\,d\rho \\
&= 2\int_0^2 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{D_{\theta}[\rho \sin \vartheta -2] }{\rho \sin \vartheta -2}\,d\theta \biggl]\,d\rho - 2\int_0^1 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{D_{\theta}[\rho \sin \vartheta -1] }{\rho \sin \vartheta -1}\,d\theta \biggl]\,d\rho \\
&= \dotsb
\end{align}
\begin{align} 2\iint_{C_2 - C_1} \frac{x}{y}\,dx dy &= 2\iint_{C_2} \frac{x}{y}\,dx dy - 2\iint_{C_1} \frac{x}{y}\,dx dy \\
&= 2\iint_{C_2} \frac{u}{v-2}\,du dv - 2\iint_{C_1} \frac{w}{z-1}\,dw dz \\
&= 2\int_0^2 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho \cos \vartheta }{\rho \sin \vartheta -2}\,d\theta \biggl]\,d\rho - 2\int_0^1 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho \cos \vartheta }{\rho \sin \vartheta -1}\,d\theta \biggl]\,d\rho \\
&= 2\int_0^2 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{D_{\theta}[\rho \sin \vartheta -2] }{\rho \sin \vartheta -2}\,d\theta \biggl]\,d\rho - 2\int_0^1 \rho \biggl[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{D_{\theta}[\rho \sin \vartheta -1] }{\rho \sin \vartheta -1}\,d\theta \biggl]\,d\rho \\
&= \dotsb
\end{align}
secondo me è più semplice così :
$ int_(0)^(pi/2) d thetaint_(2sintheta)^(4sintheta) 2costheta/sinthetarho drho=int_(0)^(pi/2) cot theta d thetaint_(2sintheta)^(4sintheta) 2rho drho $ = $ int_(0)^(pi/2) cot theta cdot12sin^2theta d theta =int_(0)^(pi/2) 12costheta sentheta d theta=.... $
$ int_(0)^(pi/2) d thetaint_(2sintheta)^(4sintheta) 2costheta/sinthetarho drho=int_(0)^(pi/2) cot theta d thetaint_(2sintheta)^(4sintheta) 2rho drho $ = $ int_(0)^(pi/2) cot theta cdot12sin^2theta d theta =int_(0)^(pi/2) 12costheta sentheta d theta=.... $
OK, hai ragione.
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