Imparare la serie geometrica
Salve!
Potreste darmi qualche dritta per imparare ragionando le serie (geometrica e armonica in primis) per favore?
Potreste darmi qualche dritta per imparare ragionando le serie (geometrica e armonica in primis) per favore?
Risposte
Ciao!
Una serie geometrica è una serie del tipo:
$sum_(n=0)^(oo)(aq^n) =a+aq+aq^2+...aq^(n-1)+aq^n+...$
dove $a$ è una costante diversa da $0$ e $q$ è chiamata ragione della serie.
Il carattere della serie dipende pertanto dal valore assunto dalla ragione $q$. Si hanno i seguenti casi:
1) $|q|<1 $cioè $-1
3) $q=-1$ la serie è indeterminata.
Come abbiamo detto se $|q|<1$ la serie converge, in particolare si avrà che:
$S=a/(1-q)$
Con a il primo termine della serie.
Sinceramente non so se questo è quello che volevi sapere...
Una serie geometrica è una serie del tipo:
$sum_(n=0)^(oo)(aq^n) =a+aq+aq^2+...aq^(n-1)+aq^n+...$
dove $a$ è una costante diversa da $0$ e $q$ è chiamata ragione della serie.
Il carattere della serie dipende pertanto dal valore assunto dalla ragione $q$. Si hanno i seguenti casi:
1) $|q|<1 $cioè $-1
3) $q=-1$ la serie è indeterminata.
Come abbiamo detto se $|q|<1$ la serie converge, in particolare si avrà che:
$S=a/(1-q)$
Con a il primo termine della serie.
Sinceramente non so se questo è quello che volevi sapere...
Se il problema è "ricordarle" mnemonicamente puoi rifarti alle definizioni a parole, qualcosa del tipo "la serie armonica (semplice) è la somma dei reciproci dei naturali" mentre "la serie geometrica è la somma delle potenze naturali progressive di un numero reale".
Poi, ovviamente, la serie armonica generalizzata è la somma dei reciproci dei naturali elevati ad una data potenza.
Se invece intendi di riportarti a tali serie da altre serie da studiare, ecco, lì serve occhio e pratica e non c'è da imparare a memoria.
Facendo l'anteprima, ho visto la risposta di grimx e mi aggrego al suo dubbio: cioè non ho capito bene cosa intendi con la tua domanda.
Poi, ovviamente, la serie armonica generalizzata è la somma dei reciproci dei naturali elevati ad una data potenza.
Se invece intendi di riportarti a tali serie da altre serie da studiare, ecco, lì serve occhio e pratica e non c'è da imparare a memoria.
Facendo l'anteprima, ho visto la risposta di grimx e mi aggrego al suo dubbio: cioè non ho capito bene cosa intendi con la tua domanda.
Io vorrei sapere come fate voi a ricordare cose tipo
1)|q|<1 cioè -1
3) q=-1 la serie è indeterminata.
Grazie per le risposte!
1)|q|<1 cioè -1
3) q=-1 la serie è indeterminata.
Grazie per le risposte!
Correggimi se sbaglio, ma secondo me un altro paio di volte che lo scrivi da qualche parte - non per forza qui al forum! - e finisce che te lo ricordi. 
Sennò, puoi pensare che
$\sum_(n=0)^n x^k = \frac{1-x^(n+1)}{1-x}$
e portare al limite per $n->+\infty$ il secondo membro per avere la soluzione che è uguale a quella che "devi" imparare.
Tuttavia, però, questo "schemetto" non è molto accettato dai prof perché occorre chiarire prima delle questioni tecniche: però, magari, se ti aiuta a memorizzare, fa' pure.
Sennò, puoi pensare che
$\sum_(n=0)^n x^k = \frac{1-x^(n+1)}{1-x}$
e portare al limite per $n->+\infty$ il secondo membro per avere la soluzione che è uguale a quella che "devi" imparare.
Tuttavia, però, questo "schemetto" non è molto accettato dai prof perché occorre chiarire prima delle questioni tecniche: però, magari, se ti aiuta a memorizzare, fa' pure.
Si sono sempre io che cerco di capire per memorizzare dall'inizio del semestre. E non capendo non memorizzo!
In effetti a noi questa formula neanche l'hanno fatta vedere...beh io la userò! Funziona per tutte le serie principali (menguli, armonica, ecc)?
Grazie!
In effetti a noi questa formula neanche l'hanno fatta vedere...beh io la userò! Funziona per tutte le serie principali (menguli, armonica, ecc)?
Grazie!
"spode":
Si sono sempre io che cerco di capire per memorizzare dall'inizio del semestre.
Non mi riferivo a te nello specifico: dicevo solo che, in generale, a forza di scrivere poi rimane impresso.
"spode":
E non capendo non memorizzo!
Bisognerebbe perderci un po' di tempo su queste serie dal momento che sono fondamentali: specifico che non dico di te, parlo anche dei prof che magari tante cose le danno per scontate (soprattutto in cdl non puramente matematici).
"spode":
Funziona per tutte le serie principali (menguli, armonica, ecc)?
Diciamo che ognuna ha un metodo particolare più o meno intuitivo/simpatico che aiuta a capirle: un buon inizio, oltre al libro di testo, è anche wikipedia italiana in cui sono elencate tutte queste dimostrazioni (tranne che per Mengoli).
Grazie tante! =)
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