Immersioni
A lezione abbiamo visto il teorema delle immersioni: se $phi:Omega->RR^n$ è funzione immersiva in $p\inOmega$ allora esiste $U$ intorno aperto di $p$ tale che $phi_(|U):U->phi(U)$ è diffeomorfismo di classe $C^1$.
Si passa poi all'esempio di parametrizzazione immersiva di una curva.
Sia $phi:J->RR^2$ (con $J$ intervallo di $RR$) la parametrizzazione di una curva. Allora $phi$ è immersiva in $t_0$ se e solo se $d phi(t_0)!=(0,0)$.
Fin qui tutto bene, i problemi iniziano quando si dice che
"$phi$ è aperta a valori in $phi(U)$ ma non in $phi(J) nn V$ con $V$ intorno di $phi(t_0)$ (non è detto che $phi(U)$ sia aperto nella topologia relativa di $phi(J)$)".
Questo fatto non mi è chiaro, cosa significa?
Viene inoltre dato un esempio: si considera la funzione $f:]0,pi[->RR^2$, $f(x)=sin(2x)(cosx,sinx)$ (una sorta di quadrifoglio).
$phi$ è iniettiva e immersiva in $pi/2$.
Si ha che $lim_(t->0^+)phi(t)=lim_(t->pi^-)phi(t)=phi(pi/2)=(0,0)$.
L'arco $phi(U)$ non è mai intorno di $(0,0)$, non è mai diffeomorfo ad un intervallo di $RR$ (cioè?).
Si dimostra in quanto, supponendo che esista un diffeomorfismo in $B((0,0),r[$, si ha che l'unione degli archi in $B((0,0),r[$ è connessa dunque la sua antimmagine deve essere connessa (in $RR$) e cioè deve essere un intervallo.
Se in $B((0,0),r[$ togliamo certi 3 punti l'arco rimane connesso ma l'antimmagine (un intervallo reale) no.
Ho indicato con la freccia i due punti sui quali mi perdo completamente, qualcuno è così gentile da chiarirmi le idee?
Si passa poi all'esempio di parametrizzazione immersiva di una curva.
Sia $phi:J->RR^2$ (con $J$ intervallo di $RR$) la parametrizzazione di una curva. Allora $phi$ è immersiva in $t_0$ se e solo se $d phi(t_0)!=(0,0)$.
Fin qui tutto bene, i problemi iniziano quando si dice che
"$phi$ è aperta a valori in $phi(U)$ ma non in $phi(J) nn V$ con $V$ intorno di $phi(t_0)$ (non è detto che $phi(U)$ sia aperto nella topologia relativa di $phi(J)$)".Questo fatto non mi è chiaro, cosa significa?
Viene inoltre dato un esempio: si considera la funzione $f:]0,pi[->RR^2$, $f(x)=sin(2x)(cosx,sinx)$ (una sorta di quadrifoglio).
$phi$ è iniettiva e immersiva in $pi/2$.
Si ha che $lim_(t->0^+)phi(t)=lim_(t->pi^-)phi(t)=phi(pi/2)=(0,0)$.
L'arco $phi(U)$ non è mai intorno di $(0,0)$, non è mai diffeomorfo ad un intervallo di $RR$ (cioè?).Si dimostra in quanto, supponendo che esista un diffeomorfismo in $B((0,0),r[$, si ha che l'unione degli archi in $B((0,0),r[$ è connessa dunque la sua antimmagine deve essere connessa (in $RR$) e cioè deve essere un intervallo.
Se in $B((0,0),r[$ togliamo certi 3 punti l'arco rimane connesso ma l'antimmagine (un intervallo reale) no.
Ho indicato con la freccia i due punti sui quali mi perdo completamente, qualcuno è così gentile da chiarirmi le idee?
Risposte
Nessuno? 
Per funzione immersiva intendi un'immersione? Che definizione usi?
Per rispondere al tuo secondo dubbio: due rette (distinte e) incidenti in \(\mathbb{R}^2\) perché costituiscono un insieme non omeomorfo ad \(\mathbb{R}\)?
Per rispondere al tuo secondo dubbio: due rette (distinte e) incidenti in \(\mathbb{R}^2\) perché costituiscono un insieme non omeomorfo ad \(\mathbb{R}\)?
"j18eos":
Per funzione immersiva intendi un'immersione? Che definizione usi?
Definizione: Sia $Omega \sub RR^k$ aperto, sia $phi:Omega->RR^n$ una funzione di classe almeno $C^1$ con $1<=k<=n$. Si dice che $phi$ è immersiva in $p\inOmega$ se e solo se $dphi(p)$ è iniettiva, ovvero se e solo se $rk(J_(phi)(p))=k$.
"j18eos":
Per rispondere al tuo secondo dubbio: due rette (distinte e) incidenti in \(\mathbb{R}^2\) perché costituiscono un insieme non omeomorfo ad \(\mathbb{R}\)?
Beh nel punto di incidenza non si ha sicuramente la biiettività, dunque non si ha nemmeno l'omeomorfismo giusto? ma questo in che modo si collega con le immersioni?
Rispondo solo alla seconda domanda: assolutamente no! Ripensaci bene, che devi seguire lo stesso ragionamento che dovresti seguire per il quadrifoglio; io ti ho proposto l'esempio più facile. 
Non saprei, togliendo un qualunque punto delle due rette si otterrebbero almeno due componenti connesse (4 nel caso in cui si tolga il punto di intersezione), dunque anche l'antimmagine sarebbe ovviamente non connessa ($RR$ privato di un punto).
Il fatto su cui si basa questo esempio è che gli omeomorfismi conservano il numero di componenti connesse.
Se \(X\) è l'insieme di due retta secanti in \(P\), allora \(P\) è di taglio e \(X\setminus \{P\}\) è costituito da \(4\) componenti connesse; se esistesse un omeomorfismo \(f:X\to \mathbb{R}\), allora \(f(X\setminus \{P\})=\mathbb{R}\setminus \{f(P)\}\) dovrebbe avere \(4\) componenti connesse, il che è assurdo perché, benché \(\mathbb{R}\setminus \{f(P)\}\) sia sconnesso, esso è costituito da sole due componenti connesse.
Se \(X\) è l'insieme di due retta secanti in \(P\), allora \(P\) è di taglio e \(X\setminus \{P\}\) è costituito da \(4\) componenti connesse; se esistesse un omeomorfismo \(f:X\to \mathbb{R}\), allora \(f(X\setminus \{P\})=\mathbb{R}\setminus \{f(P)\}\) dovrebbe avere \(4\) componenti connesse, il che è assurdo perché, benché \(\mathbb{R}\setminus \{f(P)\}\) sia sconnesso, esso è costituito da sole due componenti connesse.
Questa proprietà degli omeomorfismi non la conoscevo, grazie mille...ora comprendo l'esempio!
Riguardo invece il fatto che
"$phi$ è aperta a valori in $phi(U)$ ma non in $phi(J) nn V$ con $V$ intorno di $phi(t_0)$ (non è detto che $phi(U)$ sia aperto nella topologia relativa di $phi(J)$)"
questo che significa?
Riguardo invece il fatto che
"$phi$ è aperta a valori in $phi(U)$ ma non in $phi(J) nn V$ con $V$ intorno di $phi(t_0)$ (non è detto che $phi(U)$ sia aperto nella topologia relativa di $phi(J)$)"
questo che significa?
Ripartendo dall'opening post: \(\displaystyle\Omega=J\supsetneqq U\) e \(\displaystyle \varphi_{U}\) essendo un diffeomorfismo di classe \(\displaystyle C^1\) è un'applicazione aperta; ma \(\displaystyle\varphi\) non è un'applicazione aperta quindi \(\displaystyle\varphi(U)\) non è aperto in \(\varphi(J)\), e nemmeno quest'ultimo è aperto in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\).
Ho centrata la risposta?
Ho centrata la risposta?
D'accordo! Dunque $phi:J->phi(J)$ in generale non è aperta ma $phi_(|U):U->phi(U)$ lo è in quanto diffeomorfismo di classe $C^1$, ho afferrato.
L'unica cosa che mi manca è allora capire il nesso tra la precedente affermazione e l'esempio del quadrifoglio...
Dunque $phi:J->phi(J)$ in generale non è aperta ma $phi_(|U):U->phi(U)$ lo è in quanto diffeomorfismo di classe $C^1$, ho afferrato.L'unica cosa che mi manca è allora capire il nesso tra la precedente affermazione e l'esempio del quadrifoglio...
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