Immersione continua da $H_0^1(\Omega)$ a $L^p$
Salve, volevo chiedere se è giusto il seguente risultato, l'ho trovato citato in un articolo ma nn ho trovato nessun libro che lo riportava.
Sia [tex]$\Omega\subset R^N$[/tex] non limitato allora l'immersione
[tex]$H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^p(\Omega)$[/tex] con [tex]$2\le p< 2^\star=\frac{2N}{N-2}$[/tex]
è continua.
Grazie per le risposte
Sia [tex]$\Omega\subset R^N$[/tex] non limitato allora l'immersione
[tex]$H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^p(\Omega)$[/tex] con [tex]$2\le p< 2^\star=\frac{2N}{N-2}$[/tex]
è continua.
Grazie per le risposte
Risposte
Questi risultati fanno parte di una suite detta Teoremi di immersione di Sobolev. Non ne so molto a dire la verità, qui Gugo, Rigel o ViciousGoblin sono pareri di gran lunga più attendibili. Però lascio un riferimento bibliografico:
http://books.google.com/books?id=GAA2Xq ... &q&f=false
(dovrebbe puntare direttamente alla pagina giusta)
P.S.: Ho controllato e il risultato è corretto. Più in generale hai:
Teorema
Sia $Omega$ un aperto di $RR^N$ e $1 < p < infty$.
[list=1][*:300sm0cc]Se $p
[*:300sm0cc]Se $p >N$ allora $W_0^{1, p}(Omega) subset C_0(bar{Omega})$.[/*:m:300sm0cc][/list:o:300sm0cc]
(*) Si intende che l'immersione è continua.
http://books.google.com/books?id=GAA2Xq ... &q&f=false
(dovrebbe puntare direttamente alla pagina giusta)
P.S.: Ho controllato e il risultato è corretto. Più in generale hai:
Teorema
Sia $Omega$ un aperto di $RR^N$ e $1 < p < infty$.
[list=1][*:300sm0cc]Se $p
[*:300sm0cc]Se $p >N$ allora $W_0^{1, p}(Omega) subset C_0(bar{Omega})$.[/*:m:300sm0cc][/list:o:300sm0cc]
(*) Si intende che l'immersione è continua.
L'indicazione di dissonance va benissimo; ti basta vedere, al link da lui riportato, il Corollary 9.14 a p. 284 (per p=2) insieme alla Remark 20 a p. 290.
Se non vado errato, è la compattezza dell'immersione che può saltare se il dominio non è "buono", ma la continuità resta.
O sbaglio?
O sbaglio?
Non sbagli. Precisamente ti serve:
- [*:2v7hjuxs]che il dominio sia regolare e limitato se vuoi immersioni compatte;[/*:m:2v7hjuxs]
[*:2v7hjuxs]che il dominio sia regolare se vuoi immersioni tipo $W^{m,p}(Omega) subset L^q(Omega)$;[/*:m:2v7hjuxs]
[*:2v7hjuxs]nessuna ipotesi particolare su $Omega$ se vuoi immersioni tipo $W_0^{m,p}(Omega) subset L^q(Omega)$.[/*:m:2v7hjuxs][/list:u:2v7hjuxs]Almeno, così mi pare.
Molte grazie!!
Visto che vi vedo molto lanciati vi propongo la seguente dimostrazione che io sinceramente nn ho capito.
é tratta dall'articolo "A compactness lemma" di Esteban e Lions, publicato in nonlinear analysis, thory, methods e applications, vol. 7 pp 381-385.
Sia $\Omega=O\times R^p$ dove O$\subset R^m$ limitato, indichiamo un generico punto di $\Omega$ con (x,y), x$\in O$ e y$\in R^p$
Introduciamo lo spazio $H_s(\Omega)\subset H_0^1(\Omega)$ definito da tutte le funzioni u(x,y)$\in H_0^1(\Omega)$ tali che
u(x,y)=u(x,Ry) dove R \'e una rotazione. Quindi queste funzioni prenderanno la forma u(x,|y|).
Teo:
Sia p$\ge 2$, q$\in (2,\frac{2N}{N-2}=2^\star)$ con N=m+p, allora l'immersione $H_s(\Omega)\rightarrow L^q(\Omega)$ è compatta.
Dim:
Vogliamo provare che data una successione $u_m$ limitata in $H_s(\Omega)$ allora esiste una sottosuccessione che converge fortemente in $L^q(\Omega)$.
Quello che sappiamo è che possiamo estrarre una sottosuccesione tale che
$u_n\rightarrow u$ debolmente $H_s(\Omega)$ e $L^q(\Omega)$
$u\rightarrow u$ q.o. in $\Omega$
$\forall R<\infty$ $u_n\rightarrow u$ fortemente in $L^q(O\times B_R)$
Introduciamo in riarrangiamento simmetrico si Schwaz di $u_m$ rispetto a x.
Dalle propriet\'a del riarrangiamento sappiamo che $v_n\in H^1(R^m\times R^p)$ è limitata. Inoltre
$\int_{R^m\times R^p}|v_m|^pdxdy=\int_{O\times R^p}|u_m|^pdxdy$
Da quest'ultima deriva che se riesco a dimostare che $v_n\rightarrow v$ in $L^q(\Omega)$ ho dimostrato che $u_n\rightarrow u$.
Dato che l'operatore di simmetrizazzione è una contrazione in $L^q$ ricaviamo che
Per $\forall R\le \infty$
1)$||v_m-u^\star||_{L^q(R^m\times B_R)}=\int_{B_R}dy\int_{R^m}|v_m-u^\star|^qdx\le$
$\le \int_{B_R}dy\int_O||u_m|-|u||^qdx\le ||u_m-u||^p_{L^q(O\times B_R)}$
Quindi ne ricaviamo che v=$u^\star$
Fin qui nn ho avuto particolare problemi ma nn capisco proprio l'ultimo passaggio.
$\int_{O\times R^p}|u_m|^pdxdy=\int_{R^m\times R^p}|v_m|^p dxdy\rightarrow \int_{R^m\times R^p}|u^\star|^qdxdy=\int_{O\times R^p}|u|^qdxdy$
Con questa termina la dimostrazione non capisco perche vale il passaggio $\int_{R^m\times R^p}|v_m|^p dxdy\rightarrow \int_{R^m\times R^p}|u^\star|^qdxdy$.
Ho supposto perche forse vale la 1) $\forall R$.
Grazie per le future risposte.
é tratta dall'articolo "A compactness lemma" di Esteban e Lions, publicato in nonlinear analysis, thory, methods e applications, vol. 7 pp 381-385.
Sia $\Omega=O\times R^p$ dove O$\subset R^m$ limitato, indichiamo un generico punto di $\Omega$ con (x,y), x$\in O$ e y$\in R^p$
Introduciamo lo spazio $H_s(\Omega)\subset H_0^1(\Omega)$ definito da tutte le funzioni u(x,y)$\in H_0^1(\Omega)$ tali che
u(x,y)=u(x,Ry) dove R \'e una rotazione. Quindi queste funzioni prenderanno la forma u(x,|y|).
Teo:
Sia p$\ge 2$, q$\in (2,\frac{2N}{N-2}=2^\star)$ con N=m+p, allora l'immersione $H_s(\Omega)\rightarrow L^q(\Omega)$ è compatta.
Dim:
Vogliamo provare che data una successione $u_m$ limitata in $H_s(\Omega)$ allora esiste una sottosuccessione che converge fortemente in $L^q(\Omega)$.
Quello che sappiamo è che possiamo estrarre una sottosuccesione tale che
$u_n\rightarrow u$ debolmente $H_s(\Omega)$ e $L^q(\Omega)$
$u\rightarrow u$ q.o. in $\Omega$
$\forall R<\infty$ $u_n\rightarrow u$ fortemente in $L^q(O\times B_R)$
Introduciamo in riarrangiamento simmetrico si Schwaz di $u_m$ rispetto a x.
Dalle propriet\'a del riarrangiamento sappiamo che $v_n\in H^1(R^m\times R^p)$ è limitata. Inoltre
$\int_{R^m\times R^p}|v_m|^pdxdy=\int_{O\times R^p}|u_m|^pdxdy$
Da quest'ultima deriva che se riesco a dimostare che $v_n\rightarrow v$ in $L^q(\Omega)$ ho dimostrato che $u_n\rightarrow u$.
Dato che l'operatore di simmetrizazzione è una contrazione in $L^q$ ricaviamo che
Per $\forall R\le \infty$
1)$||v_m-u^\star||_{L^q(R^m\times B_R)}=\int_{B_R}dy\int_{R^m}|v_m-u^\star|^qdx\le$
$\le \int_{B_R}dy\int_O||u_m|-|u||^qdx\le ||u_m-u||^p_{L^q(O\times B_R)}$
Quindi ne ricaviamo che v=$u^\star$
Fin qui nn ho avuto particolare problemi ma nn capisco proprio l'ultimo passaggio.
$\int_{O\times R^p}|u_m|^pdxdy=\int_{R^m\times R^p}|v_m|^p dxdy\rightarrow \int_{R^m\times R^p}|u^\star|^qdxdy=\int_{O\times R^p}|u|^qdxdy$
Con questa termina la dimostrazione non capisco perche vale il passaggio $\int_{R^m\times R^p}|v_m|^p dxdy\rightarrow \int_{R^m\times R^p}|u^\star|^qdxdy$.
Ho supposto perche forse vale la 1) $\forall R$.
Grazie per le future risposte.
Direi passaggio al limite sotto il segno d'integrale, probabilmente giustificato da questo teorema... Però non ho letto tutto, quindi mi riservo di rispondere meglio dopo la partita. 
uhm...si ma io nn so che $\lim_{n}||v_n||_{L^p(R^m\times R^p)}=||u^\star||_{L^p(R^m\times R^p)}$ so soltanto che vale la segunte $\lim_{n}||v_n||_{L^p(R^m\times R^p)}=||u^\star||_{L^p(R^m\times R^p)}$ $\forall R<\infty$.
Come detto, ci devo pensare.
Però un suggerimento te lo posso dare subito: in italiano si dice riordinamento, non "riarrangiamento" (che è un pessimo adattamento dell'inglese rearrangement).
Però un suggerimento te lo posso dare subito: in italiano si dice riordinamento, non "riarrangiamento" (che è un pessimo adattamento dell'inglese rearrangement).
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