Immagine funzione di due variabili

[laurascara1]

Buongiorno ragazzi.
Non ho ben capito come devo fare per trovare l'immagine di una funzione a due variabili del tipo:
$f(x,y)=x^2-y^2+3x$
Dove il dominio è $D_f={(x,y) in RR^2 : x^2+4y^2<=1}$
Avevo letto che bisognava eguagliare la funzione a una variabile k.
$x^2-y^2+3x=k$
Però poi non so come procedere.

[dan952]

Potresti affrontare il problema appunto in termini di curve di livello, ovvero per quali valori di $k$ (generalmente si usa $z$) la curva $f(x,y)$ ha intersezione non vuota con l'insieme $D_f$.
$k=f(x,y)$ è un iperbole, $D_f$ è un ellisse centrato nell'origine con semiassi $a=1$ e $b=1/2$.

[quantunquemente]

ma il problema è che il dominio non è solo l'ellisse ma anche quello che c'è dentro
io determinerei il massimo e minimo assoluto della funzione nel compatto
il codominio sarà $[m,M]$

[dan952]

Credo che non li abbia ancora studiati i massimi e minimi vincolati

[quantunquemente]

e allora la vedo dura perchè $D_f$ non è un' ellisse(c'è anche il ripieno )

[dan952]

Si lo so ma $f(x,y)$ per entrare nel ripieno deve necessariamente intersecare l'ellisse, dunque il problema si riduce a trovare per quali valori $k$ accade questo. Non credi?

[quantunquemente]

hai ragione
e in più è anche molto più veloce come risoluzione

[laurascara1]

Quindi devo fare il sistema della funzione e del dominio?

[dan952]

${(x^2-y^2+3x=k),(x^2+4y^2=1):}$
Cose del liceo, dovrebbe venire un'equazione di secondo grado in x (o y) ti calcoli per quali valori di $k$ risulta$ \Delta \geq 0$, ovvero esiste la soluzione nei reali

[laurascara1]

Ok grazie mille

[dan952]

Prego
Per una ragazza questo e altro...