Immagine funzione

[blob84]

Devo determinare l'immagine di questa funzione:
\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} log(x), & \mbox{ se } x\mbox{ >= 1 } \\ -2x-5, & \mbox{ se } x\mbox{ < 1 } \end{cases} \)
Se $x>=1$ allora $log(x) <=> e^n=R+$ e$n\in R+$ altrimenti si avrebbe $1/e^n < 1$.
Se $x <1$ allora l'immagine è rappresentata dall'intervallo $-5<=x<=-1$ e $x>=1$.
Non mi trovo con il risultato che invece è l'intervallo $(-7, +\infty)$, ma non ho capito come va ottenuto.

[Gi81]

Se $x>=1$ l'immagine è $[0,+oo)$, come hai scritto anche tu.
Per $x<1$ ragionerei così: $y= -2x -5 <=> y+5= -2x <=> -1/2 (y+5)= x$
Quindi abbiamo che $-1/2 (y+5)<1$
Risolvendo questa disequazione si ottiene proprio $y>= -7$, quindi per $x<1$ l'immagine è $(-7, +oo)$

Unendo le due si ottiene $(-7,+oo)$

In generale si fa sempre così: partendo da $y=f(x)$ devi isolare la $x$, in modo da avere $x=g(y)$
(ovviamente $g$ è l'inversa di $f$, cioè $g=f^-1$)
A questo punto, se $x$ varia in un certo intervallo $ccI$ (nel nostro caso si ha $x in (-oo, 1)$),
si impone $g(y) in I$ e si ricava $y$ di conseguenza. Risolvendo si arriva a trovare qual è l'immagine.