Immagine e retroimmagine
Gli esercizi sono i seguenti:
calcolare le immagini delle funzioni:
1) $ [x-2]^2 $ , $ (-2,2] $
2) $ x(x-[x]) $ , $ (-1,+infty) $
Dove $ [x] $ è la funzione parte intera di x definita come $ x-1<=[x]<=x $ .
Calcolare la retroimmagine della funzione
$ sqrt(|x-1| $ , $ [0,1] $
Potreste spiegarmi come devo procedere in questo tipo di esercizi e soprattutto come si ragiona quando devo calcolare immagine ( o retroimmagine) di una funzione? Perchè anche negli esercizi che mi tornano non sono mai sicuro di aver fatto bene. Devo saper bene il comportamento delle funzioni elementari ?
Gli esercizi si trovano ad inizio libro quindi non sono ancora stati trattati argomenti come limiti e derivate.
Grazie in anticipo.
calcolare le immagini delle funzioni:
1) $ [x-2]^2 $ , $ (-2,2] $
2) $ x(x-[x]) $ , $ (-1,+infty) $
Dove $ [x] $ è la funzione parte intera di x definita come $ x-1<=[x]<=x $ .
Calcolare la retroimmagine della funzione
$ sqrt(|x-1| $ , $ [0,1] $
Potreste spiegarmi come devo procedere in questo tipo di esercizi e soprattutto come si ragiona quando devo calcolare immagine ( o retroimmagine) di una funzione? Perchè anche negli esercizi che mi tornano non sono mai sicuro di aver fatto bene. Devo saper bene il comportamento delle funzioni elementari ?
Gli esercizi si trovano ad inizio libro quindi non sono ancora stati trattati argomenti come limiti e derivate.
Grazie in anticipo.
Risposte
Considera \([x]:(-2,2]\rightarrow \mathbb{R}\). Ad esempio per calcolare \([1,2]\) usiamo la definizione e \(0,2\leq [1,2]\leq 1,2\) quindi \([1,2]=1\). Riscrivi la funzione nella forma
\[
f(x)=
\begin{cases}
f_{0}(x)&\mbox{ in } [x_{0},x_{1}] \\
f_{1}(x)&\mbox{ in } [x_{1},x_{2}] \\
f_{2}(x)& ...
\end{cases}
\]
Una volta che hai capito come si disegna \([x]\) prova a vedere come si calcola \([x-2]\) e quindi prova a disegnare anche quest'ultima. La funzione finale \([x-2]^{2}\) non è che il risultato della composizione di \([x-2]\) con \(y^{2}\).
\[
f(x)=
\begin{cases}
f_{0}(x)&\mbox{ in } [x_{0},x_{1}] \\
f_{1}(x)&\mbox{ in } [x_{1},x_{2}] \\
f_{2}(x)& ...
\end{cases}
\]
Una volta che hai capito come si disegna \([x]\) prova a vedere come si calcola \([x-2]\) e quindi prova a disegnare anche quest'ultima. La funzione finale \([x-2]^{2}\) non è che il risultato della composizione di \([x-2]\) con \(y^{2}\).
quindi se ho capito bene:
La funzione $ [x-2]^2 $ è $ f(x)={ ( 16 |x in (-2,1] ),( 9|x in[-1,0] ),( 4|x in [0,1] ),( 1|x in [1,2] ):} $
Quindi la mia immagine è data da $ {1,4,9,16} $ ? Nelle soluzioni c'è anche lo zero, il perchè sta solo nel fatto che essendo l'intervallo (-2,2] allora 2-2=0?
Come funziona teoricamente quando devo trovare immagine o retroimmagine di una funzione? Devo conoscere la monotonia e i grafici delle funzioni elementari e da li ricavo tutto il resto?
La funzione $ [x-2]^2 $ è $ f(x)={ ( 16 |x in (-2,1] ),( 9|x in[-1,0] ),( 4|x in [0,1] ),( 1|x in [1,2] ):} $
Quindi la mia immagine è data da $ {1,4,9,16} $ ? Nelle soluzioni c'è anche lo zero, il perchè sta solo nel fatto che essendo l'intervallo (-2,2] allora 2-2=0?
Come funziona teoricamente quando devo trovare immagine o retroimmagine di una funzione? Devo conoscere la monotonia e i grafici delle funzioni elementari e da li ricavo tutto il resto?
"niccoset":
quindi se ho capito bene:
La funzione $ [x-2]^2 $ è $ f(x)={ ( 16 |x in (-2,1] ),( 9|x in[-1,0] ),( 4|x in [0,1] ),( 1|x in [1,2] ):} $
Quindi la mia immagine è data da $ {1,4,9,16} $ ? Nelle soluzioni c'è anche lo zero, il perchè sta solo nel fatto che essendo l'intervallo (-2,2] allora 2-2=0?
\(2 \in (-2,2]\) quindi \([2-2]=[0]=0\).
Come funziona teoricamente quando devo trovare immagine o retroimmagine di una funzione? Devo conoscere la monotonia e i grafici delle funzioni elementari e da li ricavo tutto il resto?
In questo caso ti è bastato scrivere la funzione in modo più esplicito. Il grafico ti è servito per capire un po' come è fatta. In generale non so. Cerca di scrivere la funzione in modo chiaro, ad esempio scomponendola in funzioni più semplici e vedi cosa ne viene fuori.
Grazie mille !!
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