Immagine e controimmagine

[Seldon1]

ragazzi non riesco a capire alcune proprietà della funzione immagine e controimmagine...cioè: data una $f:A->B$ sia la funzione immagine quella che va dall'insieme delle parti di A in quello di B e la funzione controimmagine quella che va dalle parti di B alle parti di A, perchè si dice che l'immagine non preserva le operazione di complemento e un unione?che la controimmagine le preserva ci sono,il fatto è che pur prendendo qualsiasi esempio di funzione queste proprietà sono rispettate anche dall'immagine..potete farmi un esempio di una funzione in cui la sua sua funzione immagine non rispetta l'operazione di intersezione e complemento?

[dissonance]

Prova con \(f(x)=x^2,\quad x \in \mathbb{R}\). Fatti un disegnino e giocaci un po'.

[weblan]

Intanto alcune precisazioni:

$f(AnnB)subef(A)nnf(B)$
$f(A)-f(B)subef(A-B)$

Non conserva l'intersezione e il complemento.

[Seldon1]

grazie mille innanzi tutto per le risposte..
ho giocato proprio col grafico della parabola ed ahimè non sono riuscito a cavarci nulla...ora vi dico cosa ho fatto, magari riuscite a dirmi dove sbaglio:
prendiamo sull'asse reale i due aperti $U=(3,5) , V=(4,6)$ chiaramente la loro intersezione è data da $C=(4,5)$. bene adesso vediamo che $f(U)$ intersecato con $f(V)$ vale sulla parabola il ramo con immagine $(16,25)$ . se invece prendiamo direttamente f(U "intersecato" V) (perdonatemi non so come si fa il simbolo di intersezione)ovvero applichiamo la f all'intervallo $(4,5)$ otteniamo lo stesso aperto di prima ovvero $(16,25)$......una cosa analoga viene col complemento.... dove è che sbaglio?

[dissonance]

Da nessuna parte sbagli. Hai beccato due insiemi $U$ e $V$ che non ti danno un controesempio, sei stato sfortunato. Riprova con un'altra coppia $U$ e $V$. Cerca di prendere intervalli che contengano lo zero.

[weblan]

Sia $f:ZZtoZZ$ con $f(x)=x^2$.

Sia $I_1={-1,0,1,2,3,......}$ e sia $I_2={...,-3,-2,-1,0,1}$, in questo caso $I_1nnI_2={-1,0,1}$


$f(I_1)={0,1,4,9,.....}$ e $f(I_2)={0,1,4,9,.....}$ e $f({-1,0,1})={0,1}$

$f(I_1)nnf(I_2)={0,1,4,9,.....}$ e $f(I_1nnI_2)={0,1}$

In questo caso $f(I_1nnI_2)$\(\subsetneq\)$f(I_1)nnf(I_2)$



$I_1-I_2={2,3,4,....}$ e $f(I_1-I_2)={4,9,16,25,.....}$

$f(I_1)={0,1,4,9,16,....}$ e $f(I_2)={0,1,4,9,16,....}$ e $f(I_1)-f(I_2)=∅$

In questo caso $f(I_1)-f(I_2)$\(\subsetneq\)$f(I_1-I_2)$

[dissonance]

@weblan: Suggerisco di sostituire il generico simbolo \(\subset\) nel tuo precedente intervento con il più preciso simbolo \(\subsetneq\), per sottolineare che le inclusioni sono proprie.

[Seldon1]

grazie mille è tutto chiaro come il sole adesso

[weblan]

"dissonance":@weblan: Suggerisco di sostituire il generico simbolo \(\subset\) nel tuo precedente intervento con il più preciso simbolo \(\subsetneq\), per sottolineare che le inclusioni sono proprie.

Si è vero il simbolo $sub$ può generare confusione e per me è un'inclusione stretta.

Utilizzo il simbolo $sube$ per indicare un'inclusione larga.

Però modifico come da te suggerito in quanto il simbolo \(\subsetneq\) non crea equivoci.