Immagine e controimmage senza intervallo iniziale

[lilith_v2]

Buona domenica pomeriggio ragazzi,

sto ripreparando il mio agognato esame di analisi 1 e puntualmente non riesco a togliermi questo dubbio su immagine e controimmagine. In pratica ho imparato che se ad esempio mi viene data una funzione, diciamo semplice tipo y= $ x^2 $ ed un intervallo [1; 4] ad esempio..

So che per trovare il primo punto dell'immagine, dovrò fare y = $ (1)^2 $ e per il secondo punto y = $ (4)^2 $ in pratica sostituendolo ad x
Rispettivamente per la controimmagine 1 = $ x^2 $ per il primo punto e poi 4 = $ x^2 $

Il fatto è che non riesco a capire come si faccia a trovare appunto l'immagine e la controimmagine senza l'intervallo dato all'inizio [1; 4] nel mio ipotetico caso. C'è tipo un esercizio che adesso stavo risolvendo, dove il mio professore, della funzione $ f(x) = -ln(x+1) $ ha scritto l'immagine = $ (-oo ; +oo) $


Spero che qualcuno possa aiutarmi con questo mio dubbio:)
Gabriele.

[Lorin1]

Non ricordo una tecnica precisa per individuare l'insieme delle immagini, cioè il codominio, di solito si fa il dominio e si studiano i limiti per x che tende al primo punto del dominio e per x che tende al secondo punto, nel tuo caso il dominio è $(-1,+oo)$, allora vai a studiare:

$lim_(x->-1^+)f(x) , lim_(x->+oo)f(x)$

Oppure ad esempio puoi vedere se la funzione magari è limitata, e quindi vedere chi sono i due valori che la limitano, utilizzando sia la derivazione sia alcuni teoremi tipo Weierstrass ecc...

[Richard_Dedekind]

Se non viene dato alcun intervallo iniziale, suppongo che determinare l'immagine della funzione sia equivalente a calcolarne il codominio; ovvero l'immagine di tutto il dominio!

[lilith_v2]

@Lorin:

Quindi studiando il dominio nei suoi valori tendendenti al limite, ricavo la mia immagine? Ho capito bene?
Sisi lo so che si può fare anche con Weierstrass ma preferirei evitare di dilungarmi troppo u.u

@ Richard:

Sinceramente non ho capito:( come lo calcolo il codominio?

[Lorin1]

E' sicuramente un modo per trovare il codominio di una funzione, ma non mi sento di dirti che è l'unico perchè per quanto riguarda questo tipo di esercizi di solito si valuta volta per volta.

[Richard_Dedekind]

Credo che questo metodo funzioni sempre se la funzione che stiamo considerando è iniettiva. Infatti, ad esempio, su [tex]f(x)=x^2[/tex] non funziona: il dominio è [tex](-\infty,+\infty)[/tex], ma di gran lunga [tex]f\left(-\infty, +\infty\right)\neq(-\infty, \infty)[/tex]

[Lorin1]

Aspetta fai attenzione al fatto che se fai $lim_(x->-oo)x^2=lim_(x->+oo)x^2=+oo$ poi per quanto riguarda il primo estremo del codominio basta notare che la funzione è sempre positiva e che ha un minimo in $(0,0)$ allora il codominio sarà $[0,+oo)$
Per questo motivo ho detto che dipende dal tipo di funzione e dalle sue caratteristiche.