Immagine e codominio
salve a tutti!
mi sapete dire qual'è la differenza tra immagine di un funzione e il suo codominio?
quindi già che ci sono estendo la domanda alla differenza tra controimmagine e dominio!
grazie mille
mi sapete dire qual'è la differenza tra immagine di un funzione e il suo codominio?
quindi già che ci sono estendo la domanda alla differenza tra controimmagine e dominio!
grazie mille
Risposte
"Vulplasir":
Secondo me tutta la questione nasce dalle nozioni imparate al liceo, che ovviamente non sono le stesse impartite da un corso di analisi matematica all'università.
Questo aspetto ha sicuramente il suo peso.
Tuttavia è pacifico che, in generale, su testi di livello superiore si trovino spiegazioni più esaustive che su quelli di rango inferiore (anche se non è poi sempre vero). Potremmo anche dire che quello che volevo capire e se si tratta di una lecita semplificazione, che come altre può avere la sua utilità didattica, o meno.
"Vulplasir":
Ecco la definizione di funzione insegnata a me:
Siano $ A $ e $ B $ due insiemi non vuoti, una funzione da $ A $ a $ B $ è un sottoinsieme $ f $ di $ AxxB $ tale che:
$ AA a in A, EE! b in B : (a,b) in f $
$ A $ è detto dominio, $ B $ codominio.
Quindi dominio e codominio fanno parte della definizione di funzione stessa, vengono dati a priori, senza sapere cos'è una funzione non si può nemmeno dire cos'è l'immagine.
A parte che non tutti i testi, neppure universitari, riportano una definizione esattamente equivalente ... questa evidentemente sarà migliore. Lasciami comunque dire che:
- sul concetto di "vengono dati a priori" ho già sollevato qualche perplessità logica ... comunque poco male se è così è così.
- probabilmente sono io che non capisco ma tale definizione mi sembra lasciare aperta la possibilità che esistano elementi $a$ appartenenti al dominio $A$ ma non attribuibili alla funzione $f$. Il dominio non è proprio e strettamente l'insieme dei valori da cui la funzione "prende" i valori ?
- in ultimo, anzi in realtà era poi solo di questo che volevo parlare, mi sta bene che possono esistere dei valori $b$ appartenenti a $B$ ma che la funzione non può "restituire". Il problema è: perché dobbiamo lasciare questa possibilità?
Se questi elementi appartenenti al codominio ma non all'immagine hanno un'utilità vera e propria, e non ad uso e consumo di definizioni che, ripeto, sono comunque questionabili, mi potete mostrare un'esempio dove diventa palese ?
Poi, anche ammesso che esempi ci siano, possibile che la cosa migliore da fare sia lasciare arbitrarietà nell'ampiezza del codominio?
In definitiva quello che a me sembra, ma posso benissimo sbagliarmi, e che le definizioni semplicistiche dove si sottintende la coincidenza tra codominio ed insieme immagine non crei problemi per tutto ciò che segue ed anzi, se mai, ne eviti. Quindi se si tratta solo di aggiustare definizioni è questa che dovrebbe prevalere.
Poi ripeto probabilmente mi sbaglio e questa sarebbe cosa ne grave ne sorprendente.
Solo sarebbe stato meglio se alcuni maestri
che sono intervenuti in precedenza invece di fare i bacchettoni avessero speso qualche riga per dare una spiegazione decente.
"Fioravante Patrone":
Mi fa piacere che tu (o usavi il plurale maiestatis?) abbia capito che sono (non "possono", "sono") concetti logicamente distinti.
Curioso che in un forum di matematica qualcuno dica che distinguere due concetti distinti non sembra utile.
E' curioso anche che uno attento alle parole come te non abbia afferrato che il "possono", giusto o sbagliato che sia o detto quello, era riferito al prendere atto di una definizione mentre "non sembra utile" era riferito all'opportunità di utilizzarla.
"Fioravante Patrone":
Non mi pare una discussione sterile. Tu per lo meno hai imparato che si dice eccezione e non eccezzione (cfr.
Il "pare" era una sincera dubitativa che però metteva anche le mani avanti rispetto al possibile arrivo di commenti stupidi come il tuo. Infatti non mi sbagliavo.
Sinceramente, date le tue argomentazioni, non capisco le tue conclusioni ... definire a priori in modo preciso l'insieme delle immagini non è sempre semplice mentre lo è definire un insieme che le contenga (è sufficiente conoscere quale tipo di oggetti siano le immagini e a dir la verità neppure questo è necessario, potremmo prendere un insieme che contenga qualsiasi oggetto e andrebbe comunque bene) quindi non vedo l'utilità di far coincidere obbligatoriamente l'insieme di arrivo con l'insieme delle immagini, è una restrizione (generalmente) non necessaria ma fastidiosa.
Inoltre perché "usare" due nomi per lo stesso oggetto (insieme delle immagini e codominio) lasciando "innominato" l'altro (il generico insieme di arrivo) ? Non mi pare logico ...
Inoltre perché "usare" due nomi per lo stesso oggetto (insieme delle immagini e codominio) lasciando "innominato" l'altro (il generico insieme di arrivo) ? Non mi pare logico ...
"axpgn":
Sinceramente, date le tue argomentazioni, non capisco le tue conclusioni ... definire a priori in modo preciso l'insieme delle immagini non è sempre semplice mentre lo è definire un insieme che le contenga (è sufficiente conoscere quale tipo di oggetti siano le immagini e a dir la verità neppure questo è necessario, potremmo prendere un insieme che contenga qualsiasi oggetto e andrebbe comunque bene) quindi non vedo l'utilità di far coincidere obbligatoriamente l'insieme di arrivo con l'insieme delle immagini, è una restrizione (generalmente) non necessaria ma fastidiosa.
Provo a spiegarmi ancora. Io non sostengo che sia facile determinare a priori l'insieme immagine e sicuramente hai ragione nel dire che è più facile determinare un codominio che ne sia arbitrariamente più ampio. Il problema che sollevo è che tale arbitrarietà è foriera di ambiguità. Vedi ad esempio, è da li che poi partivo, capire se una parabola è funzione suriettiva o meno. Io sostenevo lo fosse e lo sosteneva pure il libro dove vi era l'esercizio mentre un amico, forte della spiegazione di un sito internet, sosteneva non lo fosse. La chiave di lettura sta nel codominio, io lo supponevo, come il libro, uguale all'immagine mentre il mio amico supponeva che fosse sempre e solo tutto $RR$. Peccato che, soluzione del libro a parte, nessuno dei due ha veramente ragione. Anche il link di wiki che ho postato segnalava questa potenziale ambiguità ... e per me è proprio lei il vero male.
Per chi considera tale ambiguità un problem si hanno solo due strade: o si fa coincidere il codominio con l'immagine o si sceglie una regola condivisa per quanti e quali elementi aggiuntivi inserire nel codominio. La prima strada mi sembra la più intuitiva e facile. Notare che non vedo alcun bisogno di conoscere questo insieme a priori ... al massimo possiamo doverlo trovare a posteriori. Tutto potrebbe star qui.
Tuttavia si propizia un prosieguo del ragionamento. Ragionando sulle definizioni di funzione, se ne gira più di una non è colpa mia, che ho trovato notavo che forse è solo quel priori a dare senso ad un codominio più ampio dell'immagine ... peccato poi però che qualche problema si solleva allora anche sul concetto di dominio ... sembra che nessuno si scandalizzi se ci si torna sopra dopo aver scritto $f$ e lo si continua a chiamare dominio. Perché ragionando allora allo stesso modo non posso tornare a riaggiustare il codominio e magari continuare a chiamarlo codominio invece di inventarmi l'immagine?
Quel priori implicitamente o esplicitamente contenuto nella definizione di funzione mi pare inutile, ed un concetto di codominio più ampio dell'immagine come forse anche le accrobazie verbali nel distinguere il dominio ed i suoi cugini ... , sono solo ad uso e consumo di definizioni (di funzione) che forse potrebbero essere rese più semplici ed intuitive senza compromettere in modo serio nulla di quello che viene dopo.
In particolare stare a cavillare su un ordine logico-temporale tra la scelta di dominio codominio e funzione mi sembra inutile almeno ai fini pratici. L'importante e che a posteriori abbiamo capito tutti e bene di che si parli e che anche dopo non si creino ambiguità. Una buona definizione è, almeno per me, quella che per raggiungere tale scopo minimizza il più possibile l'uso di nomi e concetti.
"axpgn":
Inoltre perché "usare" due nomi per lo stesso oggetto (insieme delle immagini e codominio) lasciando "innominato" l'altro (il generico insieme di arrivo) ? Non mi pare logico ...
Non ci sono tre oggetti, ci mancherebbe solo quello
, l'insieme di arrivo lo intendo come semplice sinonimo di codominio. Comunque si intenda quest'ultimo.Infine, ripeto, può benissimo essere che io certe cose non le veda o che mi sia espresso male o peggio, ovvero che comunque una definizione di funzione che implichi un codominio arbitrariamente più ampio dell’immagine non possa essere toccata senza creare cataclismi nel seguito. Certo l’uguaglianza di concetti (codominio ed immagine) presentata in vari testi di matematica, certamente non testi sacri ma comunque degni di rispetto, non depone a favore di tale tesi. In ogni caso non mi avete mostrato qui esempi che rendano palese la necessità pratica di una distinzione.
Non c'è nessuna ambiguità, non esiste la funzione "parabola", per dire cos'è la parabola devi scrivere la funzione parabola secondo la definizione di funzione con dominio e codominio, una volta fatto si può vedere se è suriettiva o meno. La definzione di funzione comprende un dominio, un codominio, e una "legge" tra due insiemi, se non ne consideri una di queste si creano le "ambiguità" di cui parli, se no invece tutta fila liscio come ha sempre fatto.
Anche perché con il modo di vedere tuo e del tuo libro tutte le funzioni sarebbero suriettive
"Vulplasir":
Non c'è nessuna ambiguità, non esiste la funzione "parabola", per dire cos'è la parabola devi scrivere la funzione parabola secondo la definizione di funzione con dominio e codominio, una volta fatto si può vedere se è suriettiva o meno. La definzione di funzione comprende un dominio, un codominio, e una "legge" tra due insiemi, se non ne consideri una di queste si creano le "ambiguità" di cui parli, se no invece tutta fila liscio come ha sempre fatto.
E' vero. Non ci crederai ma me ne ero accorto già prima di iniziare questa discussione. Se però leggi tutto quello che ho scritto da qualche parte trovi che ho detto qualcosa del tipo "l'arbitrarietà del codominio propizia l'ambiguità" che rende meglio l'idea di ciò che voglio intendere. Al di la di quel libro se giri un po su google vedrai che spesso la parabola è semplicemente indicata come funzione non suriettiva come anche ad esempio la funzione valore assoluto. Il fatto è che si sottintende come codominio $RR$. Tu potrai sempre dirmi che l'ambiguità c'è perché si sta usando male la definizione di funzione (quella che distingue codominio ed immagine). Il bello è che hai ragione ma è una spiegazione che non mi soddisfa. La considererei completa se non ci fosse arbitrarietà nel definire il codominio.
Peralltro lasciami dire che quando ci si sposta da certe aule o da certi circoli ristretti, la matematica è ancora ampiamente usata ma su tutta una serie di dettagli si tende a soprassedere. Ti posso garantire che concetti ben più importanti di una stucchevole differenziazione tra codominio ed immagine vengono tralasciati. Ad alcuni qui sembrerà strano ma io sono un difensore deell'uso della matematica in modo serio e fidati che ve ne è bisogno... ma non si può esagerare con la pignoleria. Se lo farai, dammi retta, al di fuori di certi circoli non verrai apprezzato ... anzi.
In ogni caso considerare per definizione un dominio uguale all'immagine non contrasta neppure con la definizione, diciamo più ampia, che indica la possibilità (non necessità) di un codominio che sia più ampio dell'immagine.
Possibilità che ripeto non mi sembra(va) portare benefici ... anzi se si lascia arbitrarietà ...
Comunque come dicevo, alcuni problemi forse non li vedo ed ecco che finalmente tu me ne porti uno
"Vulplasir":
Anche perché con il modo di vedere tuo e del tuo libro tutte le funzioni sarebbero suriettive
Pensi che l'assenza di funzioni non suriettive sarebbe un grosso problema ?
Volevo risponderti ma Vulplasir qui
ha riassunto esattamente quello che avevo da dire.
Scusami ma non puoi sostenere contemporaneamente questo
e poi ammettere che c'è ambiguità in certi casi ... a me pare chiaro: c'è ambiguità nel momento in cui ignori la pignoleria
Io continuo a non capire perché ritieni "più chiaro" o "meno complicato" far coincidere il codominio con l'insieme delle immagini: mi sembra che siamo d'accordo sul fatto che esistano (o possono esistere) due insiemi (diversi o meno), quello delle immagini e quello di arrivo; a me pare una scelta logica dare un nome "non generico" a quello di arrivo così da poterlo sempre identificare in modo appropriato; la necessità di questa distinzione nasce dal fatto (per me ovvio) che determinare a priori l'insieme delle immagini può essere difficile (se non impossibile, vedi il primo esempio che ho fatto).
A mio modesto parere, la confusione scaturisce proprio dall'abitudine di identificare una funzione con la sua legge di corrispondenza, dimenticandosi di dominio e codominio (o meglio, dandoli per scontati): questa è una brutta abitudine [size=85][se mi passi il paragone è un po' quello che accade talvolta con i teoremi, soprattutto se famosi come Rolle o De L'Hopital, dei quali si "impara" il "corpo" ma spesso ci si dimentica delle "condizioni" col risultato che alla fine ci si chiede "perché non funziona? Eppure ho fatto tutto giusto ..."][/size].
No, non è così ... se io, datimi dominio, codominio e legge di corrispondenza, verifico che non sussistano le condizioni perché questo "trio" si possa chiamare "funzione" non la chiamo "funzione". Punto.
Se poi viene cambiato qualcuno dei tre elementi e dopo queste modifiche le condizioni sono verificate allora chiamerò "funzione" questo "nuovo" trio, ma quello di prima non diventa comunque "una funzione"; spero di essere stato chiaro ... ... come vedi, anche qui, non è questione di pignoleria ma di precisione, se mancano certe condizioni non sussistono certi elementi ... isn'it? 
Cordialmente, Alex
"Vulplasir":
Non c'è nessuna ambiguità, non esiste la funzione "parabola", per dire cos'è la parabola devi scrivere la funzione parabola secondo la definizione di funzione con dominio e codominio, una volta fatto si può vedere se è suriettiva o meno. La definizione di funzione comprende un dominio, un codominio, e una "legge" tra due insiemi, se non ne consideri una di queste si creano le "ambiguità" di cui parli, se no invece tutta fila liscio come ha sempre fatto.
ha riassunto esattamente quello che avevo da dire.
Scusami ma non puoi sostenere contemporaneamente questo
"markowitz":
... Ad alcuni qui sembrerà strano ma io sono un difensore dell'uso della matematica in modo serio e fidati che ve ne è bisogno... ma non si può esagerare con la pignoleria. Se lo farai, dammi retta, al di fuori di certi circoli non verrai apprezzato ... anzi.
e poi ammettere che c'è ambiguità in certi casi ... a me pare chiaro: c'è ambiguità nel momento in cui ignori la pignoleria
Io continuo a non capire perché ritieni "più chiaro" o "meno complicato" far coincidere il codominio con l'insieme delle immagini: mi sembra che siamo d'accordo sul fatto che esistano (o possono esistere) due insiemi (diversi o meno), quello delle immagini e quello di arrivo; a me pare una scelta logica dare un nome "non generico" a quello di arrivo così da poterlo sempre identificare in modo appropriato; la necessità di questa distinzione nasce dal fatto (per me ovvio) che determinare a priori l'insieme delle immagini può essere difficile (se non impossibile, vedi il primo esempio che ho fatto).
A mio modesto parere, la confusione scaturisce proprio dall'abitudine di identificare una funzione con la sua legge di corrispondenza, dimenticandosi di dominio e codominio (o meglio, dandoli per scontati): questa è una brutta abitudine [size=85][se mi passi il paragone è un po' quello che accade talvolta con i teoremi, soprattutto se famosi come Rolle o De L'Hopital, dei quali si "impara" il "corpo" ma spesso ci si dimentica delle "condizioni" col risultato che alla fine ci si chiede "perché non funziona? Eppure ho fatto tutto giusto ..."][/size].
"markowitz":
... sembra che nessuno si scandalizzi se ci si torna sopra dopo aver scritto $ f $ e lo si continua a chiamare dominio.
No, non è così ... se io, datimi dominio, codominio e legge di corrispondenza, verifico che non sussistano le condizioni perché questo "trio" si possa chiamare "funzione" non la chiamo "funzione". Punto.
Se poi viene cambiato qualcuno dei tre elementi e dopo queste modifiche le condizioni sono verificate allora chiamerò "funzione" questo "nuovo" trio, ma quello di prima non diventa comunque "una funzione"; spero di essere stato chiaro ...
... come vedi, anche qui, non è questione di pignoleria ma di precisione, se mancano certe condizioni non sussistono certi elementi ... isn'it? Cordialmente, Alex
Un suggerimento che mi sono spesso dato da solo: Shut up and calculate!
La cosa si applica anche al presente post: a questo livello la distinzione tra "immagine" e "codominio" non è molto rilevante. Lo diventa ad un livello più alto, quando gli insiemi $A$ e $B$ tra cui è definita una funzione $f: A\to B$ sono dotati di ulteriori strutture (algebriche, topologiche, differenziali) ed è importante tenere traccia di tali strutture. (Questo si riallaccia all'esempio di Fioravante: se ho due funzioni $f, g$ a valori in $B$, e su $B$ è definita una somma, allora ha senso la scrittura $f+g$. )
In conclusione, non mi pare valga la pena di scrivere tre pagine di post su questo argomento.
La cosa si applica anche al presente post: a questo livello la distinzione tra "immagine" e "codominio" non è molto rilevante. Lo diventa ad un livello più alto, quando gli insiemi $A$ e $B$ tra cui è definita una funzione $f: A\to B$ sono dotati di ulteriori strutture (algebriche, topologiche, differenziali) ed è importante tenere traccia di tali strutture. (Questo si riallaccia all'esempio di Fioravante: se ho due funzioni $f, g$ a valori in $B$, e su $B$ è definita una somma, allora ha senso la scrittura $f+g$. )
In conclusione, non mi pare valga la pena di scrivere tre pagine di post su questo argomento.
Ciao Dissonance
Nel post che hai linkato c'è scritto
The above exhortation is probably due to David Mermin, although it is generally misattributed to Richard Feynman
andando un pochino più indietro potremmo trovare qualcosa di simile da parte di Leibniz
quando orientur controversiae, non magis disputatione opus erit inter duos philosophus, quam inter duos computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere sedereque ad abacos, et sibi mutuo (accito si placet amico) dicere: calculemus
click
Nel post che hai linkato c'è scritto
The above exhortation is probably due to David Mermin, although it is generally misattributed to Richard Feynman
andando un pochino più indietro potremmo trovare qualcosa di simile da parte di Leibniz
quando orientur controversiae, non magis disputatione opus erit inter duos philosophus, quam inter duos computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere sedereque ad abacos, et sibi mutuo (accito si placet amico) dicere: calculemus
click
gio73, hai solleticato la mia curiosità
Però direi che il senso dell'affermazione recente è diverso da quello di Leibinz. Il tedesco sperava di sbrogliare i conflitti, mentre l'esortazione recente riguarda più la didattica e l'apprendimento della matematica. Esortazione che condivido, e di cui ogni tanto ho la riprova leggendo le domande fatte qui, o anche su Yahoo!Answers: spesso manca una visione "concreta", la capacità di fare esempi e controesempi (che talvolta sono davvero molto, molto facili).
Però direi che il senso dell'affermazione recente è diverso da quello di Leibinz. Il tedesco sperava di sbrogliare i conflitti, mentre l'esortazione recente riguarda più la didattica e l'apprendimento della matematica. Esortazione che condivido, e di cui ogni tanto ho la riprova leggendo le domande fatte qui, o anche su Yahoo!Answers: spesso manca una visione "concreta", la capacità di fare esempi e controesempi (che talvolta sono davvero molto, molto facili).
Che interessante! grazie gio73
Quanto al commento di Fioravante, lo condivido completamente. E' anche colpa della didattica universitaria italiana. Quando studiavo all'università di Bari, non facevo mai dei calcoli. Invece imparavo teoremi su teoremi e questo ha richiesto un cambio di prospettiva abbastanza traumatico quando sono andato all'estero e soprattutto quando ho iniziato a cimentarmi con la ricerca. Stesso problema vedo con molti dei topic aperti qui, specialmente dagli studenti di matematica. Molta aria fritta, molte questioni astratte di lana caprina, e poca sostanza. Per questo mi piace molto quel link di consigli.
Giusto per concludere: non dico che fuori dall'Italia le cose vadano meglio, al contrario! Ora sono in Francia, ho un incarico di insegnamento e posso testimoniare di avere visto cose inimmaginabili (sempre a danno degli studenti meno dotati e/o meno abbienti).
Quanto al commento di Fioravante, lo condivido completamente. E' anche colpa della didattica universitaria italiana. Quando studiavo all'università di Bari, non facevo mai dei calcoli. Invece imparavo teoremi su teoremi e questo ha richiesto un cambio di prospettiva abbastanza traumatico quando sono andato all'estero e soprattutto quando ho iniziato a cimentarmi con la ricerca. Stesso problema vedo con molti dei topic aperti qui, specialmente dagli studenti di matematica. Molta aria fritta, molte questioni astratte di lana caprina, e poca sostanza. Per questo mi piace molto quel link di consigli.
Giusto per concludere: non dico che fuori dall'Italia le cose vadano meglio, al contrario! Ora sono in Francia, ho un incarico di insegnamento e posso testimoniare di avere visto cose inimmaginabili (sempre a danno degli studenti meno dotati e/o meno abbienti).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo