Immagine di una funzione, suriettività ed iniettività
Salve a tutti, sono nuovo nel forum. Ho appena iniziato il corso di analisi matematica al politecnico di torino, tuttavia non ho capito già bene alcuni concetti 
per trovare il dominio nessun problema, per trovare l'immagine è un problema, perchè non ho ben capito come si calcola, infatti non mi viene nemmeno un esercizio 
stessa cosa per suriettività e iniettività di una funzione siccome sono i primi concetti, e se non apprendo questi non posso andare avanti con il programma, qualcuno mi può spiegare, grazie anche ad esempi numerici, a capire questi 3 concetti? grazie mille 
per trovare il dominio nessun problema, per trovare l'immagine è un problema, perchè non ho ben capito come si calcola, infatti non mi viene nemmeno un esercizio stessa cosa per suriettività e iniettività di una funzione siccome sono i primi concetti, e se non apprendo questi non posso andare avanti con il programma, qualcuno mi può spiegare, grazie anche ad esempi numerici, a capire questi 3 concetti? grazie mille
Risposte
Perchè non posti tu degli esercizi che non ti vengono facendo vedere quello che hai fatto ?
Vi posto un esempio di funzione:
[tex]f(x) = \sqrt{x+2} -1[/tex]
Per calcolare il dominio è semplice, basta porre [tex]x+2\geqslant 0[/tex] da cui ricavo [tex]x\geqslant -2[/tex]
Ora che devo calcolare l'immagine, da quanto ho capito, devo ricavarmi la x, quindi svolgendo un po' di calcoli arrivo alla condizione che: [tex]x=y^{2}+2y-1[/tex] e qua mi sono perso, dato che il libro da come soluzione : [tex][1,+\infty )[/tex] .
Come devo procedere?
Per sapere se la funzione è iniettiva o suriettiva, non ho proprio capito il passaggio. Sul libro da solo la definizione senza fare esempi, vi è possibile spiegarmi come si fa a sapere se è suriettiva o no, usando anche questa funzione?
grazie di tutto
[tex]f(x) = \sqrt{x+2} -1[/tex]
Per calcolare il dominio è semplice, basta porre [tex]x+2\geqslant 0[/tex] da cui ricavo [tex]x\geqslant -2[/tex]
Ora che devo calcolare l'immagine, da quanto ho capito, devo ricavarmi la x, quindi svolgendo un po' di calcoli arrivo alla condizione che: [tex]x=y^{2}+2y-1[/tex] e qua mi sono perso, dato che il libro da come soluzione : [tex][1,+\infty )[/tex] .
Come devo procedere?
Per sapere se la funzione è iniettiva o suriettiva, non ho proprio capito il passaggio. Sul libro da solo la definizione senza fare esempi, vi è possibile spiegarmi come si fa a sapere se è suriettiva o no, usando anche questa funzione?
grazie di tutto
Salve ste9206,
che libro usi?
Cordiali saluti
"ste9206":
Vi posto un esempio di funzione:
[tex]f(x) = \sqrt{x+2} -1[/tex]
Per calcolare il dominio è semplice, basta porre [tex]x+2\geqslant 0[/tex] da cui ricavo [tex]x\geqslant -2[/tex]
Ora che devo calcolare l'immagine, da quanto ho capito, devo ricavarmi la x, quindi svolgendo un po' di calcoli arrivo alla condizione che: [tex]x=y^{2}+2y-1[/tex] e qua mi sono perso, dato che il libro da come soluzione : [tex][1,+\infty )[/tex] .
Come devo procedere?
Per sapere se la funzione è iniettiva o suriettiva, non ho proprio capito il passaggio. Sul libro da solo la definizione senza fare esempi, vi è possibile spiegarmi come si fa a sapere se è suriettiva o no, usando anche questa funzione?
grazie di tutto
che libro usi?
Cordiali saluti
Analisi 1 di Canuto Tabacco, editore Springer. E' in pratica il libro che consigliano a tutti, qui al poli
Per trovare l'immagine della funzione ( vuol dire trovare l'insieme dei valori assunti dalla funzione ) è utile fare lo studio della funzione.
Forse non hai ancora le conoscenze sufficienti..
La funzione $ y = sqrt(x+2) -1 $ che ha come dominio $ x>=-2 $ come hai detto, è funzione crescente ove è definita.Se conosci le derivate fai la derivata della funzione e vedrai che è sempre positiva e quindi funzione sempre crescente.OK ?
Pertanto il valore minimo che assumerà la $ y $ lo si ottiene ponendo $x=-2 $, tale valore è $ y =-1$.
Ma la funzione è sempre crescente e quindi al crescere di $ x $ la $ y $ crescerà sempre, quindi il sup sarà $+oo $.
Pertanto l'immagine è $[ -1, +oo)$.
Forse non hai ancora le conoscenze sufficienti..
La funzione $ y = sqrt(x+2) -1 $ che ha come dominio $ x>=-2 $ come hai detto, è funzione crescente ove è definita.Se conosci le derivate fai la derivata della funzione e vedrai che è sempre positiva e quindi funzione sempre crescente.OK ?
Pertanto il valore minimo che assumerà la $ y $ lo si ottiene ponendo $x=-2 $, tale valore è $ y =-1$.
Ma la funzione è sempre crescente e quindi al crescere di $ x $ la $ y $ crescerà sempre, quindi il sup sarà $+oo $.
Pertanto l'immagine è $[ -1, +oo)$.
si, infatti questo pensavo di fare anche io, perchè alle superiori si faceva così...tuttavia sul libro questi concetti li mette all'inizio, e anche a lezione li ha spiegati subito..io più che altro volevo sapere come trovare l'immagine per calcolare suriettività e iniettività di una funzione... in quanto, almeno per la suriettività, sul libro fa riferimento all'immagine della funzione, per l'iniettività non ho ben capito come procedere...
Una funzione $f: A rarr B $, di dominio A e di immagine B è iniettiva se ad elementi distinti di A fa corrispondere elementi distinti di B .Quindi una funzione è iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A.
A dire, ad ogni valore $ y $ corrisponde ( al più ) uno e un solo valore $x$.
Di conseguenza se ad un valore di $ y $ corrispondono più valori di $x $ la funzione non è iniettiva.
Ecco il grafico della tua funzione
Uploaded with ImageShack.us
la quale, essendo monotòna, è iniettiva. Te ne puoi rendere conto in modo grafico se tracci idealmente delle rette parallele all'asse x ; se queste incontrano la curva in un solo punto allora la funzione è iniettiva.
Ovviamente la funzione $y= x^2 $ non è iniettiva - ad esempio per $y=1 $ ottieni due valori $ x=+-1 $
A dire, ad ogni valore $ y $ corrisponde ( al più ) uno e un solo valore $x$.
Di conseguenza se ad un valore di $ y $ corrispondono più valori di $x $ la funzione non è iniettiva.
Ecco il grafico della tua funzione
Uploaded with ImageShack.us
la quale, essendo monotòna, è iniettiva. Te ne puoi rendere conto in modo grafico se tracci idealmente delle rette parallele all'asse x ; se queste incontrano la curva in un solo punto allora la funzione è iniettiva.
Ovviamente la funzione $y= x^2 $ non è iniettiva - ad esempio per $y=1 $ ottieni due valori $ x=+-1 $
Adesso ho capito..grazie e invece per quanto riguarda la suriettività, cosa bisogna fare?
e invece per quanto riguarda la suriettività, cosa bisogna fare?
"Camillo":
Per trovare l'immagine della funzione ( vuol dire trovare l'insieme dei valori assunti dalla funzione ) è utile fare lo studio della funzione.
Forse non hai ancora le conoscenze sufficienti..
La funzione $ y = sqrt(x+2) -1 $ che ha come dominio $ x>=-2 $ come hai detto, è funzione crescente ove è definita.Se conosci le derivate fai la derivata della funzione e vedrai che è sempre positiva e quindi funzione sempre crescente.OK ?
Pertanto il valore minimo che assumerà la $ y $ lo si ottiene ponendo $x=-2 $, tale valore è $ y =-1$.
Ma la funzione è sempre crescente e quindi al crescere di $ x $ la $ y $ crescerà sempre, quindi il sup sarà $+oo $.
Pertanto l'immagine è $[ -1, +oo)$.
In realtà non basta osservare che una funzione è crescente per dire che è superiormente illimitata...
Pur essendo già stato scritto molto sull’argomento, aggiungo queste brevi note con qualche esempio, sperando possano essere utili.
1) Applicazione ( funzione) suriettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B $ si dice suriettiva quando è $f(A)=B $ , cioè quando ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$.
Esempio: Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali pari e $B $ quello dei naturali dispari.
La funzione $ f: (x rarr x+1 :A rarr B) $ è suriettiva .Infatti ogni numero dispari è immagine di un numero pari tramite la funzione $ x rarr x+1 $ .
Invece l’applicazione (funzione ) $ f: (x rarr x^2 : ZZ rarr ZZ ) $ non è suriettiva perché un intero qualsiasi non è in generale quadrato di un altro.Ad esempio $ 2 $ non è il quadrato di nessun numero intero.
Con $ZZ$ si intende l’insieme dei numeri interi (positivi e negativi).
2)Applicazione (funzione) iniettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B$ si dice iniettiva se ad elementi distinti di $A$ corrispondono elementi distinti di $B$.
Quindi una applicazione (funzione) è iniettiva se ogni elemento di $B$ è immagine di “al più “ un elemento di $A$ ( non si esclude quindi che in $B$ possano esserci elementi che non risultano essere l’immagine di alcun elemento di $A$.
Esempio : L’applicazione (funzione) $ f : ( x rarr x+1 :ZZ rarr ZZ ) $ è iniettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $f: ( x rarr x^2 :ZZ rarr ZZ) $ non è iniettiva perché due interi opposti hanno lo stesso quadrato e non è, come si è già visto neppure suriettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $ f_1 : ( x rarr x^2 :NN rarr ZZ )$ è iniettiva ma non suriettiva.
Benché le funzioni $ f , f_1 $ esprimano “lo stesso procedimento di calcolo” la differenza del dominio di queste funzioni implica delle proprietà diverse tra loro.
3) Applicazione (funzione) biiettiva o corrispondenza biunivoca
Una funzione $f $ di $A$ in $B$ si dice biiettiva o biunivoca se essa è suriettiva e iniettiva.
Dunque $ f $ è una biiezione di $A$ in $B$ se risulta $f(A) =B $ e da $ x ne x’ $ segue $f(x) ne f(x’)$, qualunque siano gli elementi $x $ e $x’ $ di $A$ .
Osserviamo che :
la $f $, in quanto applicazione , fa corrispondere a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$ ; inoltre poiché la $f $ è suriettiva , ogni elemento di $B$ è un’immagine di almeno un elemento di $A$.
Infine poiché la $f $ è iniettiva , ogni elemento di $B$ è immagine di un solo elemento di $A$.
Si dice allora che fra gli elementi di due insiemi $A$ e $B$ , non vuoti, intercorre una corrispondenza biunivoca ( o biiezione ) quando esiste una legge che fa corrispondere ad ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $ B $ e viceversa, ogni elemento di $B$ è il corrispondente di uno e un solo elemento di $A$.
Esempio : Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali dispari e sia $B$ l’insieme dei numeri naturali pari diversi da $0 $, cioè :
$A=( 1,3,5,7,….) ; B=( 2,4,6,8,….)$
e consideriamo la legge :
Ad ogni numero di $A$ si faccia corrispondere il suo successivo .
Questa legge stabilisce tra gli elementi di $A$ e di $B$ una corrispondenza biunivoca.
1) Applicazione ( funzione) suriettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B $ si dice suriettiva quando è $f(A)=B $ , cioè quando ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$.
Esempio: Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali pari e $B $ quello dei naturali dispari.
La funzione $ f: (x rarr x+1 :A rarr B) $ è suriettiva .Infatti ogni numero dispari è immagine di un numero pari tramite la funzione $ x rarr x+1 $ .
Invece l’applicazione (funzione ) $ f: (x rarr x^2 : ZZ rarr ZZ ) $ non è suriettiva perché un intero qualsiasi non è in generale quadrato di un altro.Ad esempio $ 2 $ non è il quadrato di nessun numero intero.
Con $ZZ$ si intende l’insieme dei numeri interi (positivi e negativi).
2)Applicazione (funzione) iniettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B$ si dice iniettiva se ad elementi distinti di $A$ corrispondono elementi distinti di $B$.
Quindi una applicazione (funzione) è iniettiva se ogni elemento di $B$ è immagine di “al più “ un elemento di $A$ ( non si esclude quindi che in $B$ possano esserci elementi che non risultano essere l’immagine di alcun elemento di $A$.
Esempio : L’applicazione (funzione) $ f : ( x rarr x+1 :ZZ rarr ZZ ) $ è iniettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $f: ( x rarr x^2 :ZZ rarr ZZ) $ non è iniettiva perché due interi opposti hanno lo stesso quadrato e non è, come si è già visto neppure suriettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $ f_1 : ( x rarr x^2 :NN rarr ZZ )$ è iniettiva ma non suriettiva.
Benché le funzioni $ f , f_1 $ esprimano “lo stesso procedimento di calcolo” la differenza del dominio di queste funzioni implica delle proprietà diverse tra loro.
3) Applicazione (funzione) biiettiva o corrispondenza biunivoca
Una funzione $f $ di $A$ in $B$ si dice biiettiva o biunivoca se essa è suriettiva e iniettiva.
Dunque $ f $ è una biiezione di $A$ in $B$ se risulta $f(A) =B $ e da $ x ne x’ $ segue $f(x) ne f(x’)$, qualunque siano gli elementi $x $ e $x’ $ di $A$ .
Osserviamo che :
la $f $, in quanto applicazione , fa corrispondere a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$ ; inoltre poiché la $f $ è suriettiva , ogni elemento di $B$ è un’immagine di almeno un elemento di $A$.
Infine poiché la $f $ è iniettiva , ogni elemento di $B$ è immagine di un solo elemento di $A$.
Si dice allora che fra gli elementi di due insiemi $A$ e $B$ , non vuoti, intercorre una corrispondenza biunivoca ( o biiezione ) quando esiste una legge che fa corrispondere ad ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $ B $ e viceversa, ogni elemento di $B$ è il corrispondente di uno e un solo elemento di $A$.
Esempio : Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali dispari e sia $B$ l’insieme dei numeri naturali pari diversi da $0 $, cioè :
$A=( 1,3,5,7,….) ; B=( 2,4,6,8,….)$
e consideriamo la legge :
Ad ogni numero di $A$ si faccia corrispondere il suo successivo .
Questa legge stabilisce tra gli elementi di $A$ e di $B$ una corrispondenza biunivoca.
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