Immagine di una funzione in più variabili
Buondì!
Allora, questo è il testo dell'esercizio:
Determinare l'immagine della funzione $f:A rightarrow RR$ con $f(x,y,z)=x^2 + y^2$ e $A={(x,y,z) in RR^3 , x^2 + y^2 + 4z^2 <= 0}$ .
Posto $x^2 + y^2 + 4z^2 = \phi(x,y,z)$, imposto il sistema (utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange):
${((partial f)/(partial x) - \lambda(partial \phi)/(partial x) =0 rightarrow 2x - \lambda 2x=0 ),((partial f)/(partial y) - \lambda(partial \phi)/(partial y) =0 rightarrow 2y - \lambda 2y =0 ),((partial f)/(partial z) - \lambda(partial \phi)/(partial z)=0 rightarrow -\lambda 8z = 0),(\phi(x,y,z)=0 rightarrow x^2 + y^2 + 4z^2 = 0):}$
Di solito, basta trovare le $x,y,z$ espresse in funzione di $\lambda$ e sostituire nell'ultima equazione. Quindi, bisogna controllare attraverso l'hessiana orlata che in effetti i punti ottenuti siano massimi e minimi della funzione... In questo sistema, non vado a sostituire nulla nell'ultima equazione perché le prime due equazioni mi danno $\lambda = 1$ e la terza $\lambda = 0$. Sostituendo nell'ultima ha senso ottenere due valori di $\lambda$ perché è di secondo grado, ma come li ho ottenuti io non significa che il sistema è impossibile?
Vuole forse dire che la funzione non ha immagine su quell'insieme? O che non ha max o min in quell'insieme? O semplicemente, ho sbagliato qualcosa / sto dimenticando qualcosa / non ho capito qualcosa?
Grazie in anticipo per le risposte!
Allora, questo è il testo dell'esercizio:
Determinare l'immagine della funzione $f:A rightarrow RR$ con $f(x,y,z)=x^2 + y^2$ e $A={(x,y,z) in RR^3 , x^2 + y^2 + 4z^2 <= 0}$ .
Posto $x^2 + y^2 + 4z^2 = \phi(x,y,z)$, imposto il sistema (utilizzando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange):
${((partial f)/(partial x) - \lambda(partial \phi)/(partial x) =0 rightarrow 2x - \lambda 2x=0 ),((partial f)/(partial y) - \lambda(partial \phi)/(partial y) =0 rightarrow 2y - \lambda 2y =0 ),((partial f)/(partial z) - \lambda(partial \phi)/(partial z)=0 rightarrow -\lambda 8z = 0),(\phi(x,y,z)=0 rightarrow x^2 + y^2 + 4z^2 = 0):}$
Di solito, basta trovare le $x,y,z$ espresse in funzione di $\lambda$ e sostituire nell'ultima equazione. Quindi, bisogna controllare attraverso l'hessiana orlata che in effetti i punti ottenuti siano massimi e minimi della funzione... In questo sistema, non vado a sostituire nulla nell'ultima equazione perché le prime due equazioni mi danno $\lambda = 1$ e la terza $\lambda = 0$. Sostituendo nell'ultima ha senso ottenere due valori di $\lambda$ perché è di secondo grado, ma come li ho ottenuti io non significa che il sistema è impossibile?
Vuole forse dire che la funzione non ha immagine su quell'insieme? O che non ha max o min in quell'insieme? O semplicemente, ho sbagliato qualcosa / sto dimenticando qualcosa / non ho capito qualcosa?
Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
sicura che il testo sia giusto? scritta così la definizione di $A$ contiene solo l'origine
Il testo diceva così. Era un vecchio compito d'esame del 2005... forse il prof. aveva sbagliato a scrivere. Forse non intendeva mettere anche il $<$ ma solo $=$. In quel caso cos'ho sbagliato?
Grazie per aver risposto comunque
Grazie per aver risposto comunque
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