Immagine di una funzione ed insiemi aperti/chiusi
Ciao ragazzi, ho una domanda da porvi: sia (X, d) uno spazio metrico, sia A sottoinsieme di X e sia A non vuoto. Sia la funzione f:X->X, f è una funzione continua. Sia B=f(A). Mi vengono esposti due enunciati e devo dire se sono veri o falsi:
1) $ bar(B) = f(barA) $
2) $ dot(B) = F(dot(A)) $ (attenzione c'è il puntino che sta per insieme aperto).
Parto con il punto (1): mi ricordo un teorema che recitava così: "se C è compatto ed f è continua su C, allora f(C) è compatto".
Compatto implica chiuso e limitato e di conseguenza, l'insieme B deve essere chiuso e limitato. Invece è falsa, ma perché?
Secondo punto: qui ho fatto finta di avere la funzione y=seno(x), quindi con A=R (insieme aperto) ma ottengo B che è un insieme chiuso [-1, +1], quindi vera (e ci siamo!).
Ma perché il punto (1) è falso??? Stranissima come cosa!
1) $ bar(B) = f(barA) $
2) $ dot(B) = F(dot(A)) $ (attenzione c'è il puntino che sta per insieme aperto).
Parto con il punto (1): mi ricordo un teorema che recitava così: "se C è compatto ed f è continua su C, allora f(C) è compatto".
Compatto implica chiuso e limitato e di conseguenza, l'insieme B deve essere chiuso e limitato. Invece è falsa, ma perché?
Secondo punto: qui ho fatto finta di avere la funzione y=seno(x), quindi con A=R (insieme aperto) ma ottengo B che è un insieme chiuso [-1, +1], quindi vera (e ci siamo!).
Ma perché il punto (1) è falso??? Stranissima come cosa!
Risposte
Con $\bar(A)$ si indica la chiusura di $A$ chiaramente un insieme chiuso non è necessariamente compatto quindi Weierstrass non lo puoi applicare.
Che differenza c'è tra la chiusura di A e insieme compatto.
Chiusura di A: insieme dei punti appartenenti di A (pti interni ed isolati) più i punti di accomulazione (esempio: quelli di frontiera).
Insieme compatto: insieme chiuso e limitato.
Mi semnbrano molto simili...
Chiusura di A: insieme dei punti appartenenti di A (pti interni ed isolati) più i punti di accomulazione (esempio: quelli di frontiera).
Insieme compatto: insieme chiuso e limitato.
Mi semnbrano molto simili...
curiosone, se vuoi parlare seriamente di topologia perché non impari almeno le cose basilari?
Manco per niente...
(Compatto=chiuso e limitato) lo puoi dire solo su $RR^n$ e non vale in generale per ogni spazio metrico.
(Compatto=chiuso e limitato) lo puoi dire solo su $RR^n$ e non vale in generale per ogni spazio metrico.
"Fioravante Patrone":
curiosone, se vuoi parlare seriamente di topologia perché non impari almeno le cose basilari?
Salve, le spiego dunque il mio problema: attualmente sto frequentando l'università in ingegneria elettronica e questo rientra nel corso di Analisi Matematica II. Non so quante università in ingegneria basino i loro concetti sulla parte di topologia.
Queste definizioni che ho imparato e vi scrivo sono quelle date dal mio professore, non abbiamo più di tanto approfondito.
Purtroppo queste sono le domande che potrei trovarmi in sessione d'esame.
OK, curiosone.
Allora a te interessa solo la topologia di $\RR^n$. Che è piccola cosa rispetto allo studio della topologia in generale.
Tanto per capirci, dire che (in generale) i sottoinsiemi compatti di uno spazio topologico sono i sottoinsiemi chiusi e limitati è una affermazione "più che falsa", visto che non è affatto ovvio sapere cosa si intenda per sottoinsieme limitato in uno spazio topologico qualunque. In topologia generale trovi dei mostri spaventosi
Guarda la sezione apposita che trovi sul tuo libro e fai attenzione a non parlare in termini generali di topologia. Sottolinea sempre che stai parlando della topologia standard di $\RR^n$. Che, vedrai, si riduce a poche cose
Allora a te interessa solo la topologia di $\RR^n$. Che è piccola cosa rispetto allo studio della topologia in generale.
Tanto per capirci, dire che (in generale) i sottoinsiemi compatti di uno spazio topologico sono i sottoinsiemi chiusi e limitati è una affermazione "più che falsa", visto che non è affatto ovvio sapere cosa si intenda per sottoinsieme limitato in uno spazio topologico qualunque. In topologia generale trovi dei mostri spaventosi
Guarda la sezione apposita che trovi sul tuo libro e fai attenzione a non parlare in termini generali di topologia. Sottolinea sempre che stai parlando della topologia standard di $\RR^n$. Che, vedrai, si riduce a poche cose
"Fioravante Patrone":
OK, curiosone.
Allora a te interessa solo la topologia di $\RR^n$. Che è piccola cosa rispetto allo studio della topologia in generale.
Tanto per capirci, dire che (in generale) i sottoinsiemi compatti di uno spazio topologico sono i sottoinsiemi chiusi e limitati è una affermazione "più che falsa", visto che non è affatto ovvio sapere cosa si intenda per sottoinsieme limitato in uno spazio topologico qualunque. In topologia generale trovi dei mostri spaventosi
Guarda la sezione apposita che trovi sul tuo libro e fai attenzione a non parlare in termini generali di topologia. Sottolinea sempre che stai parlando della topologia standard di $\RR^n$. Che, vedrai, si riduce a poche cose
Grazie Fioravante Patrone per le indicazioni.
Ti vorrei mostrare un esempio su come ho ragionato, sperando di capire su dove sbaglio e su come curare questo mio problema.
Come avrai ben immaginato, tutti questi ragionamenti non li ho fatti, forse perché la mia trattazione di Analisi Matematica è più semplicistica e "snella", spero di averti dato un'idea.
Venendo ad un concetto su come ho ragionato:
(1) Definizione di Spazio metrico (X, d): la spazio metrico è formato da un insieme X non vuoto in cui viene definita una distanza d, che chiameremo "distanza" (o metrica) tale che per ogni x,y appertenente a X genera un valore appartenente a R. Lo spazio metrico per essere definito tale deve rispettare 4 proprietà fondamentali:
(a) Per ogni x,y appartenente a X, si ha d(x,y)>=0 --- principio di positività ---
(b) Per ogni x,y appartenente a X, si ha d(x, y)=d(y,x) --- principio di simmetria ---
(c) Per ogni x,y appartenente a X, si ha d(x,y)=0 <=> x=y --- principio di nullità ---
(d) Per ogni x,y,z appartenente a X, si ha d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z) --- principio della legge del triangolo o Disuguaglianza di Schwartz ---
(2) Definizione di distanza discreta: è una funzione che ritorna 0 se x=y e 1 se x diverso da y
(3) Insieme sconnesso: un insieme è sconnesso se non è connesso
(4) Insieme connesso: è quell'insieme costituito da un "pezzo unico", un insieme è connesso <=> è un intervallo, un insieme connesso se per ogni coppia di punti x,y appartenenti a X riesco a trovare almeno una poligonale (insieme di segmenti contigui parallaleli agli assi) che li connetti e tale poligonale è interamente contenuta in X.
Dopo queste definizioni, inizio a ragionare Penso ad uno spazio metrico con la distanza discreta: può essere l'insieme formato dai numeri naturali {1, 4, 112, 16} su cui posso applicare senza problemi la distanza metrica, oppure può essere l'intervallo [4, 12] (sottoinsieme di R) su cui posso applicare anche la distanza metrica e così via... Quindi, su queste mie indicazioni, non posso concludere che necessariamente X debba essere un insieme sconnesso... Mentre voi giustamente, mi fate notare che vi siano altre "informazioni nascoste" che non riesco a cogliere (mi viene anche il dubbio che il mio professore lo faccia apposta...)
Ecco, spero di avervi dato lo spunto del mio ragionamento... Qual è quella "chiave" su cui debba lavorare per evitare questi problemi in futuro?
Due fatti generali sussistono:
- Ogni $X$ spazio metrico con metrica discreta è sconnesso.
- In $RR$ (indipendentemente dalla metrica o topologia indotta) dire intervallo e dire sottoinsieme connesso è la stessa cosa.
Tu dici: "prendo come spazio metrico l'intervallo [0,1] sottoinsieme di $RR$ con metrica discreta"... Quindi la metrica su $[0,1]$ è quella indotta da $RR$ che è discreta e quindi l'intervallo diventa sconnesso e in quanto tale non è più un intervallo.
- Ogni $X$ spazio metrico con metrica discreta è sconnesso.
- In $RR$ (indipendentemente dalla metrica o topologia indotta) dire intervallo e dire sottoinsieme connesso è la stessa cosa.
Tu dici: "prendo come spazio metrico l'intervallo [0,1] sottoinsieme di $RR$ con metrica discreta"... Quindi la metrica su $[0,1]$ è quella indotta da $RR$ che è discreta e quindi l'intervallo diventa sconnesso e in quanto tale non è più un intervallo.
"dan95":
Due fatti generali sussistono:
- Ogni $X$ spazio metrico con metrica discreta è sconnesso.
- In $RR$ (indipendentemente dalla metrica o topologia indotta) dire intervallo e dire sottoinsieme connesso è la stessa cosa.
Tu dici: "prendo come spazio metrico l'intervallo [0,1] sottoinsieme di $RR$ con metrica discreta"... Quindi la metrica su $[0,1]$ è quella indotta da $RR$ che è discreta e quindi l'intervallo diventa sconnesso e in quanto tale non è più un intervallo.
Allora allora allora... ci siamo forse... Forse ho trovato il punto su cui sbaglio...
Prendiamo un generico insieme X (non vuoto) e la metrica discreta: tale spazio metrico genera solo due valori: "0" e "1", a seconda delle coppie di valori che analizzo.
Quindi, se lo spazio metrico (X, d) genera due valori distinti ("0" e "1" appunto), non si forma un intervallo e quindi si crea un insieme sconnesso.
Spero di aver capito il problema... Davvero, grazie mille per l'aiuto!
"curiosone":
...
(4) Insieme connesso: è quell'insieme costituito da un "pezzo unico", un insieme è connesso <=> è un intervallo, un insieme connesso se per ogni coppia di punti x,y appartenenti a X riesco a trovare almeno una poligonale (insieme di segmenti contigui parallaleli agli assi) che li connetti e tale poligonale è interamente contenuta in X.
...
NO!
- la definizione di connesso non è che è "un pezzo unico", naturalmente. Questa è solo un'indicazione di massima, per cercare di fare intuire quale tipo di proprietà interessa.
Uno spazio topologico X è connesso se NON esistono due sottoinsiemi A e B aperti, non vuoti, disgiunti, la cui unione sia tutto X
Un sottoinsieme E di uno spazio topologico X è connesso se E è connesso come spazio topologico, considerando su E la topologia si sottospazio (topologico)
- In $\RR$, con la solita topologia (quella detta euclidea), i sottoinsiemi connessi sono tutti e soli gli intervalli. Questo non vale in $\RR^n$ (mi verrebbe da dire che non ha neanche molto senso pensarlo), tanto meno in uno spazio topologico qualsiasi
- quello che dici a proposito di polignali NON è la connessione. Ma è la "connessione per poligonali" (che è una variante dell'idea di "connessione per archi". Ma, mentre la connessione per archi è una proprietà di cui ha senso parlare per ogni spazio topologico, lo stesso non vale per la "connessione per poligonali" che può essere tranquillamente definita per $\RR^n$, ma che già non ha molkto senso se lo spazio topologico che si considera è una circonferenza...)
Morale. occorre precisione.
-
@Fioravante
Non parliamo di spazi topologici rischiamo di confondere solo le idee...
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