Immagine di una funzione e inversa
Suppongo esista una funzione (non sono molto interessato alla continuità quindi se avete ipotesi in più fate voi) definita da un insieme A in B. Trovo che l'immagine della funzione è in B. Se adesso dimostro che la sua inversa ha immagine in A mi basta per dire che l'immagine della funzione è proprio B e che è biettiva? Se sì come?
La biettività viene dal fatto che è invertibile, ma sul resto ho difficoltà. Grazie
La biettività viene dal fatto che è invertibile, ma sul resto ho difficoltà. Grazie
Risposte
"Otsuaf":
Suppongo esista una funzione (non sono molto interessato alla continuità quindi se avete ipotesi in più fate voi) definita da un insieme A in B.
Questo non ha senso, $A,B$ devono avere delle topologie per iniziare a chiedersi se una funzione $f :A\to B$ è continua; oppure deve averla solo uno dei due, e per rendere una data funzione continua si metterà sull'altro insieme la topologia $f$-indotta o $f$-coindotta:
[*:2yux2u8h] Se $A$ ha una topologia, si dice che $V\subseteq B$ è aperto se e solo se \(f^\leftarrow V\) è aperto in $A$; questo definisce una topologia su $B$.[/*:m:2yux2u8h]
[*:2yux2u8h] Se $B$ ha una topologia, prendi la topologia su $A$ generata da \(\{f^\leftarrow U \mid U \in tau_B\}\).[/*:m:2yux2u8h][/list:u:2yux2u8h]
Trovo che l'immagine della funzione è in B.
Anche questo non ha molto senso: se la tua funzione va da $A$ in $B$, come hai detto sopra, che la sua immagine cada in $B$ è ovvio. Forse vuoi dire che $f : A \to X$ è una funzione, $B\subseteq X$, e $f $ fattorizza lungo l'inclusione $i : B \to X$ in modo che
- [tex]\xymatrix{
A \ar@{.>}[dr]\ar[r]^f & X \\
& B\ar_i
}[/tex][/list:u:2yux2u8h]
sia commutativo.
Se adesso dimostro che la sua inversa ha immagine in A mi basta per dire che l'immagine della funzione è proprio B e che è biettiva? Se sì come? La biettività viene dal fatto che è invertibile, ma sul resto ho difficoltà. Grazie
Qualsiasi sia l'inversa di $f$, per definizione di inversa, deve avere immagine in $A$.
Forse è meglio che spieghi con più precisione cosa desideri?
[ot]
Per curiosità qual è la topologia $f$-indotta e quale la $f$-coindotta? E c'è un motivo per questa nomenclatura? Nel senso è solo una convenzione quale delle due sia la versione "co" dell'altra o c'è qualche buon motivo per cui debba essere quella?[/ot]
"killing_buddha":
Questo non ha senso, $A,B$ devono avere delle topologie per iniziare a chiedersi se una funzione $f :A\to B$ è continua; oppure deve averla solo uno dei due, e per rendere una data funzione continua si metterà sull'altro insieme la topologia $f$-indotta o $f$-coindotta:
[*:2xkttvyx] Se $A$ ha una topologia, si dice che $V\subseteq B$ è aperto se e solo se \(f^\leftarrow V\) è aperto in $A$; questo definisce una topologia su $B$.[/*:m:2xkttvyx]
[*:2xkttvyx] Se $B$ ha una topologia, prendi la topologia su $A$ generata da \(\{f^\leftarrow U \mid U \in tau_B\}\).[/*:m:2xkttvyx][/list:u:2xkttvyx]
Per curiosità qual è la topologia $f$-indotta e quale la $f$-coindotta? E c'è un motivo per questa nomenclatura? Nel senso è solo una convenzione quale delle due sia la versione "co" dell'altra o c'è qualche buon motivo per cui debba essere quella?[/ot]
Scusa sono stato vago per fare in modo che chiunque potesse rispondere ma capisco di non essere stato chiaro. Allora ho una funzione da A a B e voglio dimostrare sia una mappa conforme da A in B e trovare la sua immagine. Per dimostrare sia conforme voglio sia biettiva(oltre al localmente conforme) quindi mi basta sia invertibile. Mentre trovare l'immagine è più difficile. Io mostro che l'immagine è contenuta in B. Se adesso dimostro che l'immagine dell'inversa è contenuta in A mi basta per concludere che l'immagine della mappa conforme è tutto B?
Sta diventando più complicato allora: non devi specificare solo una topologia, ma una struttura riemanniana su $A,B$, che a questo punto sono varietà riemanniane o aperti di $CC^n$; la funzione poi è perlomeno differenziabile, spero. E penso tu sappia che è pieno di funzioni biiettive che non sono omeomorfismi; la seconda è una condizione strettamente più forte.
"otta96":
[ot][quote="killing_buddha"]Questo non ha senso, $A,B$ devono avere delle topologie per iniziare a chiedersi se una funzione $f :A\to B$ è continua; oppure deve averla solo uno dei due, e per rendere una data funzione continua si metterà sull'altro insieme la topologia $f$-indotta o $f$-coindotta:
[*:90ig0nkr] Se $A$ ha una topologia, si dice che $V\subseteq B$ è aperto se e solo se \(f^\leftarrow V\) è aperto in $A$; questo definisce una topologia su $B$.[/*:m:90ig0nkr]
[*:90ig0nkr] Se $B$ ha una topologia, prendi la topologia su $A$ generata da \(\{f^\leftarrow U \mid U \in tau_B\}\).[/*:m:90ig0nkr][/list:u:90ig0nkr]
Per curiosità qual è la topologia $f$-indotta e quale la $f$-coindotta? E c'è un motivo per questa nomenclatura? Nel senso è solo una convenzione quale delle due sia la versione "co" dell'altra o c'è qualche buon motivo per cui debba essere quella?[/ot][/quote]
In effetti si chiamano rispettivamente topologia "iniziale" e "finale"; si tratta di una istanza del calcolo dei lavelli, e dei lifting finali.
"Otsuaf":
Scusa sono stato vago per fare in modo che chiunque potesse rispondere ma capisco di non essere stato chiaro. Allora ho una funzione da A a B e voglio dimostrare sia una mappa conforme da A in B e trovare la sua immagine. Per dimostrare sia conforme voglio sia biettiva(oltre al localmente conforme) quindi mi basta sia invertibile. Mentre trovare l'immagine è più difficile. Io mostro che l'immagine è contenuta in B. Se adesso dimostro che l'immagine dell'inversa è contenuta in A mi basta per concludere che l'immagine della mappa conforme è tutto B?
Se è biettiva in particolare è suriettiva quindi l'immagine è $B$, mentre necessariamente l'inversa di una funzione è proprio $A$.
"killing_buddha":
In effetti si chiamano rispettivamente topologia "iniziale" e "finale".
AAAh ecco, mi pareva si chiamassero così, ma mi sa che le hai invertite
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