Immagine di una funzione di variabile complessa di tipo esponenziale

[CallistoBello]

Salve, ho da poco iniziato lo studio dell'analisi complessa, ma mi trovo in difficoltà con un esercizio.
Esercizio: Data la funzione complessa di tipo esponenziale: $ f(z)=e^(2piiz) $ ,
descrivere l'immagine tramite la funzione f del seguente insieme del piano complesso
$ D={z=x+iy|-1/22} $

La logica da me seguita è stata quella di:
1.graficarmi l'insieme nel piano complesso
2. dopodiché ho considerato $z=x+iy$ e sostituito nell'espressione della funzione ottenendo che:
$ e^(2piiz)=e^(2piix-2piy)$
Da qui cominciano i problemi
3. Considerato che l'immagine di un Punto tramite f è ancora un numero complesso, mi aspetto di poter riscrivere questo $e^(2piix-2piy)$ come un certo $z= rho e^(itheta)$

Problema: come faccio a capire i range in cui variano rispettivamente $theta$ e $rho$?

[Mephlip]

Occhio che $e^{2\pi i x} \ne e^{2\pi} \cdot e^{ix}$. Anche dopo fai un errore simile. Di conseguenza, tutto il resto non è corretto.

[CallistoBello]

"Mephlip":Occhio che $e^{2\pi i x} \ne e^{2\pi} \cdot e^{ix}$. Anche dopo fai un errore simile. Di conseguenza, tutto il resto non è corretto.

Si,purtroppo avevo digitalizzato l'unione di risoluzioni di due esercizi diversi
Nello specifico l'esercizio in questione era:
Data la funzione complessa di tipo esponenziale: $f(z)=e^z$ ,
descrivere l'immagine tramite la funzione f del seguenti insiemi del piano complesso:
a) l'insieme delle $z=x+iy$ tali che: $x<=1$ e $0<=y<=pi$
b)l'insieme delle $z=x+iy$ tali che: $0<=y<=pi$ (senza la condizione su x)

[Mephlip]

Ok! Per (a), hai che $e^z=e^{x+iy}=e^x \cdot e^{iy}=e^x(\cos y+i \sin y)$. Dunque, chi è $|f(z)|$? E, una volta stabilito chi è $|f(z)|$, in che intervallo varia sapendo che $x \le 1$?

Ricorda inoltre che due numeri complessi scritti in forma trigonometrica/esponenziale coincidono se e solo se i loro moduli coincidono e i loro argomenti differiscono per multipli interi di $2\pi$. Qui dovrai usare la condizione su $y$.

L'esercizio (b) è praticamente uguale.

[CallistoBello]

In pratica:
a)
1. Il modulo della mia funzione esponenziale complessa è:
$ |f(z)|=sqrt(u^2(x,y)+v^2(x,y) $
-con parte reale: $u(x,y)=e^x cosy$
-e parte immaginaria: $v(x,y)=e^x siny$
dunque: $|f(z)|= sqrt(e^(2x)*(cos^2x+sin^2x))=sqrt(e^(2x))=e^x$

2.Ora, considerato che i punti del piano complesso di arrivo, continueranno a dipendere dalla coppia (x,y) dei punti del piano complesso di partenza , ci chiediamo:
STEP1: Cosa significa (per i nuovi punti) imporre la condizione sulle x
STEP2: Cosa significa (per i nuovi punti) imporre la condizione sulle y
$ z= rho e^(i theta)$

STEP1
Siccome $ rho= |f(z)|= e^x$ dipende dal parametro: x,
La condizione su x secondo cui: x è al più 1 implica che: e^x può essere al più e^1
Ma allo stesso tempo , la funzione esponenziale è strettamente positiva

Risultato: $0
STEP2
Ora, considerato che: $arg(z)= theta+2kpi, k in Z $
Nel nostro caso, l'argomento di z è proprio quella y che figura nella forma trigonometrica
Dunque, la condizione su y ci dice che: fissato k (ovvero considerato l'Argomento principale di quel numero complesso)

Risultato: $ theta in [0,pi]$

(Graficamente) : l'insieme di arrivo è un semicerchio di raggio: e che vive nel semipiano superiore.


b)
STEP1: Il modulo della funzione complessa è ancora una volta: $e^x$
Tuttavia, questa volta non ho più condizioni sulla x, dunque l'esponenziale è libera di "esplodere\divergere positivamente"

Risultato: ci cambia l'intervallo in cui far variare $rho$, che diventa: $0
STEP2: $theta$ non è cambiato, perché la condizione su y non è cambiata.

(graficamente): ho una semicirconferenza di raggio infinito
o meglio: il mio insieme immagine è tutto il semipiano complesso superiore (asse delle parti reali escluso)
cioè $C^+$

Corretto?

[Mephlip]

Sì, va bene. Giusto un dettaglio qui:

"CallistoBello":
Risultato: $0
dato che $e^x>0$, hai che $\rho \in ]0,e]$ e non $\rho in [0,e]$. Ma sicuramente è un errore di battitura, visto che avevi già osservato la positività di $e^x$.

[CallistoBello]

Ho seguito la stessa logica per l'esercizio analogo nel caso della funzione : $ f(z)=e^(2piiz $
considerando l'insieme $ D={z=x+iy|-1/2<=x<=1/2,y>=2} $
Tuttavia, mi sorge il dubbio che ci sia qualcosa di non corretto, perché anche questa volta , concludo con l'aver trasformato l'insieme D nel semipiano superiore complesso

Ragionamento:
$ f(z)= e^(2piiz)=e^(2pii(x+iy))=e^-(2piy)(e^(i(2pix)))=e^-(2piy)*(cos2pix+isin(2piix)) $
$u(x,y)=e^-(2piy) cos(2pix)$
$v(x,y)=e^(-2piy)sin(2pix)$
$ |f(z)|=sqrt[e^(-2piy)*(cos^2(2pix)+sin^2(2pix))]= sqrt(e^-(2piy)^2)=e^-(2piy) $
$ arg(e^(2piiz))=arg(e^(i2pix))=arg(cos2pix+isin2pix)=2pix $

Condizione sulle y: $y>=2$ implica che $e^-(2piy)>=e^(-4pi)$
ovvero
$rho in [e^-(4pi),+ oo ]$
Condizione sulle x: $-1/2<=x<=1/2$ implica che $2pi(-1/2)<=argf(z)<=2pi(1/2)$
ovvero
$theta in [-pi,pi]$

(graficamente) : abbiamo trasformato un RETTANGOLO INFINITO (nella parte superiore)
nel SEMIPIANO COMPLESSO SUPERIORE

Ci sono errori?

[Mephlip]

Questo:

"CallistoBello":
Condizione sulle y: $y>=2$ implica che $e^-(piy)>=e^(-2pi)$
ovvero
$rho in [e^-(2pi),+ oo ]$

è falso. L'esponenziale in base $e$ con esponente negativo è monotòno decrescente. Vale la disuguaglianza col verso opposto rispetto a quella che hai scritto.

Comunque, è consigliato che si scriva un solo esercizio per post (anche se qui ancora ha abbastanza senso fare un solo post, visto che gli esercizi sono tutti tra loro simili anche nella forma oltre che per l'argomento trattato). Sei nuovo del forum, quindi non potevi saperlo; perciò, non preoccuparti. Tuttavia, in futuro, ti consiglio di aprire post diversi per esercizi diversi. Magari aggiungendo più informazioni nel titolo (senza appesantirlo troppo). Ad esempio, un titolo informativo per questo esercizio sarebbe stato: "Immagine di una funzione di variabile complessa di tipo esponenziale". Potresti seguire questa regola in futuro? Grazie!

[CallistoBello]

"Mephlip":Ad esempio, un titolo informativo per questo esercizio sarebbe stato: "Immagine di una funzione di variabile complessa di tipo esponenziale"

Corro a modificare
Credevo che il titolo dovesse essere quanto più generico possibile

"Mephlip":
è falso. L'esponenziale in base $e$ con esponente negativo è monotòno decrescente. Vale la disuguaglianza col verso opposto rispetto a quella che hai scritto.

Ok, quindi abbiamo che $y>=2$ implica che $0< e^-(2piy)<=e^-(4pi)$
ovvero $rho in (0,e^(-4pi)]$

Col Risultato che: l'insieme diventa un CERCHIO(nel SemipianoComplessosuperiore)
- di centro: l'origine e raggio:$ e^-(4pi)$

Ultimo dubbio: siccome $rho != 0 $ , il Punto (0,0) va "escluso" dal nostro CERCHIO ?
In altre parole: l'insieme viene ad essere "bucato nell'Origine" ?

[Mephlip]

"CallistoBello":
Corro a modificare
Credevo che il titolo dovesse essere quanto più generico possibile

Grazie mille, apprezziamo molto!

Per il resto, sì. L'origine va esclusa. Una proprietà dell'esponenziale che viene ereditata in $\mathbb{C}$ è che $e^w \ne 0$ per ogni $w\in\mathbb{C}$.