Immagine di una funzione continua in un intervallo

[domenico.migl]

Non so se viola le regole del forum (se così fosse provvedo a cancellare il post o a spostarlo in una sezione più adeguata), ma ho riportato qui sotto un teorema che inizialmente non capivo ma che mentre scrivevo il post ho compreso, non avendo trovato questo teorema ne in nessun libro di analisi 1 ne tanto meno sul web o pensato di pubblicare ugualmente il post, nell'eventualità che possa servire a qualcuno.

TEOREMA sull'immagine di una funzione continua in un intervallo

Hp: $f:(a,b)->RR$ continua

Ts: $]"inf" (f), "sup" (f)[ sube im (f) sube ["inf" (f), "sup" (f)]$
$im (f)={f(x):x\in (a,b)}$

Dimostrazione:

$"inf" (f)<=f(x)<= "sup" (f) \forall x \in (a,b)=> f(x) \in ["inf" (f), "sup" (f)] \forall x \in (a,b)$
Pertano $im(f) sube ["inf" (f), "sup" (f)]$
Sia $ \gamma \in RR:"inf" (f)<\gamma< "sup" (f)$
Per tanto $\exists x_1,x_2 \in (a,b):f(x_1)<\gamma < f(x_2)$
Se $"sup"(f)=+\infty => f$ non ha maggioranti
se $"sup"(f) \in RR => "sup"(f)$ è il minimo dei maggioranti di $f$ ne segue che $\gamma$ non è maggiorante
essendo $x_2 \in (a,b):f(x_2)>\gamma$ per il teorema di esistenza dei valori intermedi: $\exists c \in]"min"(x_1,x_2),"max"(x_1,x_2)[:f(c)=\gamma$
Analogamente si dimostra che $\gamma$ non è neanche l'$"inf"(f)$. Essendo $\gamma \in im(f)$, per l'arbitrarietà di $\gamma$ possiamo concludere che se $f$ è continua e non costante: $]"inf" (f), "sup" (f)[ sube im (f) sube ["inf" (f), "sup" (f)]$. Che è la tesi.

Leggenda:
$"sup"(f) ->$ Estremo superiore della funzione $f$ nell'intervallo $(a,b)$;
$"inf"(f) ->$ Estremo inferiore della funzione $f$ nell'intervallo $(a,b)$;
$"im"(f)->$ immagine della funzione $f$.

[domenico.migl]

Osservazione: La funzione deve essere continua e non costante per soddisfare le ipotesi del teorema dei valori intermedi.

[C0st4]

E' il cosidetto Teorema di connessione (cosidetto dal mio professore ) .

[domenico.migl]

@COST4 Il tuo professore l'ha dimostrato allo stesso modo?

[C0st4]

Simile ha definito una nuova funzione g(x) = f(x) - γ, così da renderlo uno zero della funzione g(x) e per dimostrare la sua esistenza ha usato il teorema degli zeri di bolzano (non conosco il teorema dei valori intermedi quello che hai usato tu).