Immagine di una funzione con esponenziale?
Buona sera, ho riscontrato dei problemi nel calcolare l’immagine della funzione:
$ f(x) = e^(-x^2/2)(x^2+3x+1) $
Per calcolare l’immagine, la mia procedura sarebbe quella di esplicitare la x rispetto alla y e quindi scriverla come $ x = f(y) $ per poi trovare il “dominio” in funzione di y, solo che alla fine giungo a questa situazione: $ 2ln(y)=-2ln(x^2+3x+1)-x^2 $ ; quindi non riesco ad esplicitare ulteriormente la x, essendoci due logaritmi naturali....di conseguenza non riesco a trovare $ f(D_f) $
$ f(x) = e^(-x^2/2)(x^2+3x+1) $
Per calcolare l’immagine, la mia procedura sarebbe quella di esplicitare la x rispetto alla y e quindi scriverla come $ x = f(y) $ per poi trovare il “dominio” in funzione di y, solo che alla fine giungo a questa situazione: $ 2ln(y)=-2ln(x^2+3x+1)-x^2 $ ; quindi non riesco ad esplicitare ulteriormente la x, essendoci due logaritmi naturali....di conseguenza non riesco a trovare $ f(D_f) $
Risposte
E chi ti dice che è iniettiva?
L'immagine di $f(x)=x^2$ sta nell'intervallo $[0,+oo)$
Prova ad invertirla
L'immagine di $f(x)=x^2$ sta nell'intervallo $[0,+oo)$
Prova ad invertirla
Si ma io non ho mica detto che sostituisco x con y per trovare l’inversa! Non è nemmeno quella la richiesta (la richiesta è trovare l’insieme delle immagini). Ho detto che con diversi maneggi cerco di scrivere la funzione non come y=f(x)=x, ma come x=f(y)=y; in definitiva è come se ruotassi di 90° gli assi per trovare l’insieme di appartenenza della funzione lungo l’asse y (immagine)
Di fatto stai cercando l'inversa e non è detto che esista; invece fare un bello studio di funzione?
Devi metterti d'accordo con te stesso! Se metti una variabile in funzione dell'altra stai cercando l'inversa.
Segui il consiglio di Alex. Si vede anche ad occhio nudo come va la funzione. E' il prodotto di una gaussiana (mai negativa) e una parabola il cui minimo si calcola a mente...e quindi scopri che in un intervallo è negativa.
Quindi ci sarà un intervallo in cui $+ * - = -$ e sarà negativa e avrà un minimo e un altro intervallo in cui raggiungerà un massimo. Infatti l'esponenziale è decisamente più potente di una polinomiale, quindi visto che la gaussiana va a zero a $+-oo$ se la porta dietro. Quindi ci saranno un massimo e un minimo e saranno assoluti.
Indovina entro quale intervallo varia l'immagine?
Segui il consiglio di Alex. Si vede anche ad occhio nudo come va la funzione. E' il prodotto di una gaussiana (mai negativa) e una parabola il cui minimo si calcola a mente...e quindi scopri che in un intervallo è negativa.
Quindi ci sarà un intervallo in cui $+ * - = -$ e sarà negativa e avrà un minimo e un altro intervallo in cui raggiungerà un massimo. Infatti l'esponenziale è decisamente più potente di una polinomiale, quindi visto che la gaussiana va a zero a $+-oo$ se la porta dietro. Quindi ci saranno un massimo e un minimo e saranno assoluti.
Indovina entro quale intervallo varia l'immagine?
Eh, ma lo studio di funzione deve farlo lui non noi 
Così glielo hai già svolto quasi tutto.
Così glielo hai già svolto quasi tutto.
"axpgn":
Eh, ma lo studio di funzione deve farlo lui non noi
Vero, mi sono lasciato andare troppo...ma...niente ma, ho sbagliato
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