Immagine di una funzione a due variabili

[Campax]

Come si risolve un esercizio nel quale c'è da calcolare l'immagine di una funzione a due variabili, ad esempio
f(x,y= 7/(1+3log(x^2+y^2-9)^2)?

Grazie in anticipo

[ciampax]

Calcolando i massimi e minimi.

[gio73]

ciao campax benvenuto sul forum
hai provato a fare qualcosa?
Ad esempio la nostra funzione è definita su tutto $RR^2$ o dobbiamo escludere qualcosa?

Edit: un ciao e un augurio di buona Pasqua a Ciampax

[ciampax]

Ciao gio, grazie degli aufuri. Non avevo notato la quasi omonimia dell'utente con me....

[Campax]

Riesco a calcolare l'insieme immagine solo nelle funzioni ad una variabile. Per quelle a due variabili mi potete dare qualche indicazione sul metodo?

[/jxg]

"gio73":ciao campax benvenuto sul forum
hai provato a fare qualcosa?
Ad esempio la nostra funzione è definita su tutto $RR^2$ o dobbiamo escludere qualcosa?

Edit: un ciao e un augurio di buona Pasqua a Ciampax

[ciampax]

Calcolo del gradiente, determinazione dei punti stazionari, studio dell'hessiano. Sai cosa sono?

Una curiosità: ma in quale ambito stai studiando questa roba?

[gio73]

"Campax":
$f(x,y)= 7/(1+3log(x^2+y^2-9)^2)$?

nell'esempio che hai postato dobbiamo fare in modo che l'argomento del logaritmo sia sempre positivo
quindi
$(x^2+y^2-9)^2>0$

ora essendo un quadrato ci basta fare in modo che
$x^2+y^2-9!=0 -> x^2+y^2!=9$

quindi dobbiamo escludere la circonferenza di raggio 3 centrata nell'origine

inoltre dobbiamo evitare che i denominatore della nostra frazione sia uguale a zero, quindi...

[Campax]

Quindi è corretto dire che il denominatore della funzione f(x,y) è compreso tra 1 (se ln^2(...)=0) e +∞ (se ln^2(...)→+∞)?
F(x,y) assume valori tra 0 (quando il denominatore →+∞) e 7 incluso (quando il denominatore è 0)
L'insieme immagine è I(f(x,y) = (0,7]?

[gio73]

The denominator can't be zero

[Campax]

"gio73":The denominator can't be zero

Volevo dire quando ln^2(...)=0.

Per il resto è corretto il ragionamento?

[gio73]

mi sembra di sì

però il logatritmo può assumere anche valori negativi (il suo argomento deve essere positivo, non il "risultato")
di conseguenza se $3log...=-1$ ti ritrovi con un denominatore uguale a 0 e devi escluderlo dal campo di esistenza
se $3log..<-1$ il denominatore è negativo e l'intera funzione diventa negativa, dosn't it?