Immagine di un insieme tramite una funzione a due variabili
Ciao a tutti. Sono ancora io 
Ho questa funzione $f(x,y) = arctan(x^2+xy+y^2)$ e quest'insieme $A= {(x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1}$.
Devo determinare $f(A)$.
Io pensavo di ragionare così, $x^2+y^2<=1 rArr x^2+y^2+xy <=1+xy$ e poichè la funzione $arctan(t)$ è una funzione monotona crescente allora io scriverei
$f(A) = {z in R : z = arctan(x^2+y^2+xy) <= arctan(1+xy) , x,y in R^2}$
è soddisfacente come risposta secondo voi?
Ho questa funzione $f(x,y) = arctan(x^2+xy+y^2)$ e quest'insieme $A= {(x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1}$.
Devo determinare $f(A)$.
Io pensavo di ragionare così, $x^2+y^2<=1 rArr x^2+y^2+xy <=1+xy$ e poichè la funzione $arctan(t)$ è una funzione monotona crescente allora io scriverei
$f(A) = {z in R : z = arctan(x^2+y^2+xy) <= arctan(1+xy) , x,y in R^2}$
è soddisfacente come risposta secondo voi?
Risposte
Ciao. Secondo me non lo è, non descrivi l'insieme in modo chiaro.
Hai la soluzione? Potrebbe essere: $f(A)=[0, arctan(3/2)]$ ?
Hai la soluzione? Potrebbe essere: $f(A)=[0, arctan(3/2)]$ ?
"Palliit":
Ciao. Secondo me non lo è, non descrivi l'insieme in modo chiaro.
Hai la soluzione? Potrebbe essere: $f(A)=[0, arctan(3/2)]$ ?
No, purtroppo.. Nessuna soluzione..
"franc3sc0":
[quote="Palliit"]Ciao. Secondo me non lo è, non descrivi l'insieme in modo chiaro.
Hai la soluzione? Potrebbe essere: $f(A)=[0, arctan(3/2)]$ ?
No, purtroppo.. Nessuna soluzione..[/quote]
Come sei giunto a questa soluzione?
In coordinate polari, $x=rho \cos theta$, $y=rho \sin theta$; la funzione diventa:
(1) $f(rho, theta)=arctan(rho^2(1+sin theta cos theta))=arctan(rho^2(1+1/2 sin 2theta))$
e la regione è descritta da (2) $0<=rho<=1$ et $0<=theta<2pi$__$rightarrow$__$0<=2theta<4 pi$;
quindi risulta:__$-1<= sin 2theta<=1$ ,__l'argomento dell'arcotangente nell'ultima espressione della (1) quindi è:
$rho^2(1-1/2)<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=rho^2(1+1/2)$__$rightarrow$__$1/2rho^2<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=3/2 rho^2$ ;
considerando le limitazioni (2) su $rho$, si trova:
$0<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=3/2$__e dunque:__$0<=f(A)<=arctan(3/2)$.
Salvo errori miei, ma il grafico mi pare renda credibile il mio risultato.
(1) $f(rho, theta)=arctan(rho^2(1+sin theta cos theta))=arctan(rho^2(1+1/2 sin 2theta))$
e la regione è descritta da (2) $0<=rho<=1$ et $0<=theta<2pi$__$rightarrow$__$0<=2theta<4 pi$;
quindi risulta:__$-1<= sin 2theta<=1$ ,__l'argomento dell'arcotangente nell'ultima espressione della (1) quindi è:
$rho^2(1-1/2)<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=rho^2(1+1/2)$__$rightarrow$__$1/2rho^2<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=3/2 rho^2$ ;
considerando le limitazioni (2) su $rho$, si trova:
$0<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=3/2$__e dunque:__$0<=f(A)<=arctan(3/2)$.
Salvo errori miei, ma il grafico mi pare renda credibile il mio risultato.
Oltre al procedimento che ti è già stato suggerito, potresti studiare i massimi e i minimi assoluti della funzione ristretti al vincolo $A = {x^2+y^2≤1}$
Questo dominio infatti è chiuso e limitato, perciò per il teorema di Weierstrass la funzione ha per forza un max e un min assoluti, che saranno gli estremi dell'intervallo f(A).
Inoltre, come dici tu, l'arcotengente è una funzione strettamente monotona, per cui i suoi punti estremanti saranno gli stessi del suo argomento, ossia puoi studiare solo la funzione $g(x,y)=x^2+xy+y^2$ nel vincolo, e una volta trovate le coordinate dei punti, ti basterà sostituirle nell'espressione originale della f per trovare gli estremi di f(A).
Questo dominio infatti è chiuso e limitato, perciò per il teorema di Weierstrass la funzione ha per forza un max e un min assoluti, che saranno gli estremi dell'intervallo f(A).
Inoltre, come dici tu, l'arcotengente è una funzione strettamente monotona, per cui i suoi punti estremanti saranno gli stessi del suo argomento, ossia puoi studiare solo la funzione $g(x,y)=x^2+xy+y^2$ nel vincolo, e una volta trovate le coordinate dei punti, ti basterà sostituirle nell'espressione originale della f per trovare gli estremi di f(A).
"Gendarmevariante":
Oltre al procedimento che ti è già stato suggerito, potresti studiare i massimi e i minimi assoluti della funzione ristretti al vincolo $A = {x^2+y^2≤1}$
Questo dominio infatti è chiuso e limitato, perciò per il teorema di Weierstrass la funzione ha per forza un max e un min assoluti, che saranno gli estremi dell'intervallo f(A).
Inoltre, come dici tu, l'arcotengente è una funzione strettamente monotona, per cui i suoi punti estremanti saranno gli stessi del suo argomento, ossia puoi studiare solo la funzione $g(x,y)=x^2+xy+y^2$ nel vincolo, e una volta trovate le coordinate dei punti, ti basterà sostituirle nell'espressione originale della f per trovare gli estremi di f(A).
Grazie mille a tutti quanti!
"Palliit":
In coordinate polari, $x=rho \cos theta$, $y=rho \sin theta$; la funzione diventa:
(1) $f(rho, theta)=arctan(rho^2(1+sin theta cos theta))=arctan(rho^2(1+1/2 sin 2theta))$
e la regione è descritta da (2) $0<=rho<=1$ et $0<=theta<2pi$__$rightarrow$__$0<=2theta<4 pi$;
quindi risulta:__$-1<= sin 2theta<=1$ ,__l'argomento dell'arcotangente nell'ultima espressione della (1) quindi è:
$rho^2(1-1/2)<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=rho^2(1+1/2)$__$rightarrow$__$1/2rho^2<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=3/2 rho^2$ ;
considerando le limitazioni (2) su $rho$, si trova:
$0<=rho^2(1+1/2 sin 2theta)<=3/2$__e dunque:__$0<=f(A)<=arctan(3/2)$.
Salvo errori miei, ma il grafico mi pare renda credibile il mio risultato.
In realtà a me viene che $f(A) = [0,arctan(1+sqrt(2)/3)]$.
Ho utilizzato la lagrangiana e ho studiato i suoi punti critici... E ho preso come vincolo $x^2+y^2=1$ per studiare appunti i punti di frontiera.
Mah, ho provato anch'io coi moltiplicatori, in realtà continua a risultarmi $3/2$ come massimo di $x^2+y^2+xy$ ma magari sbaglio io (anche perchè ho fatto i conti un po' di corsa)...
In ogni caso, nel punto $(1/sqrt 2, 1/sqrt 2)$ , che appartiene alla frontiera di $A$, vale: $x^2+y^2+xy=1/2+1/2+1/2=3/2$ , che è comunque maggiore di $1+(sqrt 2)/3$.
In ogni caso, nel punto $(1/sqrt 2, 1/sqrt 2)$ , che appartiene alla frontiera di $A$, vale: $x^2+y^2+xy=1/2+1/2+1/2=3/2$ , che è comunque maggiore di $1+(sqrt 2)/3$.
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