Immagine di funzioni in 2 variabili
1)Ho la funzione da $ R^2rarr R $ $ f(x,y)=sen(y)-x^2 $
Mi viene chiesto di vedere quale punto appartiene all'immagine della funzione (il testo me ne fornisce alcuni).
Come faccio a deterninare l'immagine di f (x,y) A lezione queste cose non sono state spiegate perchè credo siano date per scontate, io ho ricominciato a studiare dopo diversi anni e francamente non so da dove iniziare. O meglio avrei come idea di fare il gradiente della funzione per trovare il punto critico e vedere dove cade.... è la strada giusta? Mi scuso per la banalità del quesito.
2) $S={(x,y) in R^2 : xy=1 , x <0}$ ; $ f(x,y)=4x^2-y+xy $
Trovo che $y=1/x$ unendo quesa condizione a $x<0$ prendo in considerazione il secondo ed il terzo quadrante.
Faccio il gradiente di $f(x,y)= ( (8x+y), (-1+x) ) $ e trovo che il punto critico è $P=(1;-8)$ .
Faccio la matrice Hessiana e trovo che il determinante è -1 quindi P è un punto di sella. Come vado avanti adesso?
Come sempre mi chiede di dire se le affermazioni sono vere:
a)l'estremo superiore dell''immagine di f(s) è 4
b)l'estremo superiore dell'imamgine di f(s) è - infinito
c)f(s) raggiunge il suo minimo in $(-1/2;2)$
d)il minimo di f(s) è 1
Ma se non riesco a fare l'immagine non so come fare...
Grazie anticipatamente a chi mi darà una mano.
Mi viene chiesto di vedere quale punto appartiene all'immagine della funzione (il testo me ne fornisce alcuni).
Come faccio a deterninare l'immagine di f (x,y) A lezione queste cose non sono state spiegate perchè credo siano date per scontate, io ho ricominciato a studiare dopo diversi anni e francamente non so da dove iniziare. O meglio avrei come idea di fare il gradiente della funzione per trovare il punto critico e vedere dove cade.... è la strada giusta? Mi scuso per la banalità del quesito.
2) $S={(x,y) in R^2 : xy=1 , x <0}$ ; $ f(x,y)=4x^2-y+xy $
Trovo che $y=1/x$ unendo quesa condizione a $x<0$ prendo in considerazione il secondo ed il terzo quadrante.
Faccio il gradiente di $f(x,y)= ( (8x+y), (-1+x) ) $ e trovo che il punto critico è $P=(1;-8)$ .
Faccio la matrice Hessiana e trovo che il determinante è -1 quindi P è un punto di sella. Come vado avanti adesso?
Come sempre mi chiede di dire se le affermazioni sono vere:
a)l'estremo superiore dell''immagine di f(s) è 4
b)l'estremo superiore dell'imamgine di f(s) è - infinito
c)f(s) raggiunge il suo minimo in $(-1/2;2)$
d)il minimo di f(s) è 1
Ma se non riesco a fare l'immagine non so come fare...
Grazie anticipatamente a chi mi darà una mano.
Risposte
UP
Ciao,
1) intendi che devi dire se un valore (ad esempio 3) appartiene all'immagine di $f$?
Comunque per l'immagine si possono (e devono fare delle considerazioni): $sin(y)$ al più vale 1 e assume tale valore per $y=pi/2+2kpi$;
$-x^2\leq0$ allora il valore massimo che può assumere la funzione sarà 1 e lo farà nei punti $(x,y)=(0,pi/2+2kpi)$
In tutti gli altri punti la funzione assumerà valori inferiori, non ci sono altri "vincoli", perciò io concludo che $Im(f)=(-\infty,1]$
2) Secondo me ti complichi la vita. Dici che $P(1,-8)$ è un punto critico, ma come fai a non accorgerti che $P\notinS$ dato che in $P$ $x=1$ e non è minore di 0 e che $xy=-8$ e non di certo uguale a 1.
In $S$ le variabili sono vincolate una all'altra; lo hai notato che $y=1/x$; le condizioni imposte al dominio ti dicono poi che $xy=1$, allora la tua funzione diventa $f(x,1/x)=g(x)=4x^2-1/x+1$
Per rispondere a domande a risposta chiusa a volte non è necessario fare chissà quali conti. Per esempio osservando che $(-1/2,2)\notinS$ puoi subito escludere la risposta c
1) intendi che devi dire se un valore (ad esempio 3) appartiene all'immagine di $f$?
Comunque per l'immagine si possono (e devono fare delle considerazioni): $sin(y)$ al più vale 1 e assume tale valore per $y=pi/2+2kpi$;
$-x^2\leq0$ allora il valore massimo che può assumere la funzione sarà 1 e lo farà nei punti $(x,y)=(0,pi/2+2kpi)$
In tutti gli altri punti la funzione assumerà valori inferiori, non ci sono altri "vincoli", perciò io concludo che $Im(f)=(-\infty,1]$
2) Secondo me ti complichi la vita. Dici che $P(1,-8)$ è un punto critico, ma come fai a non accorgerti che $P\notinS$ dato che in $P$ $x=1$ e non è minore di 0 e che $xy=-8$ e non di certo uguale a 1.
In $S$ le variabili sono vincolate una all'altra; lo hai notato che $y=1/x$; le condizioni imposte al dominio ti dicono poi che $xy=1$, allora la tua funzione diventa $f(x,1/x)=g(x)=4x^2-1/x+1$
Per rispondere a domande a risposta chiusa a volte non è necessario fare chissà quali conti. Per esempio osservando che $(-1/2,2)\notinS$ puoi subito escludere la risposta c
Si, intendo che devo dire se un valore appartiene all'immagine o meno
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