Immagine continua di un insieme sequenzialmente compatto
Ciao a tutti sto studiando questo teorema:
$K$ è un insieme in $RR$ ed è sequenzialmente compatto, $f:K->RR$
se $f$ è continua su $K => f(K)$ è sequenzialmente compatto.
il teorema è stato dimostrato a lezione in questo modo ma non ho ben capito alcune cose:
sia ${y_n}$ una successione in $f(K)$
$AA$ $n$ $in$ $NN$ $EE$ $x_n$ $in$ $K : y_n=f(x_n)$
$EE {x_(kn)} -> xo in K $
$=> {f(x_(kn))} -> f(xo) in f(K) $
${f(x_(kn))}={y_(kn)} => f(K)$ è sequenzialmente compatto
________________________
non ho capito bene perchè se
$ {x_(kn)} -> xo in K $
allora
$=> {f(x_(kn))} -> f(xo) in f(K) $
Per caso è per il teorema di esistenza del limite di una funzione che si ammette questa cosa?
Non ho chiaro il concetto di "immagine di una successione", non capisco questo ${f(x_(kn))}$.
$K$ è un insieme in $RR$ ed è sequenzialmente compatto, $f:K->RR$
se $f$ è continua su $K => f(K)$ è sequenzialmente compatto.
il teorema è stato dimostrato a lezione in questo modo ma non ho ben capito alcune cose:
sia ${y_n}$ una successione in $f(K)$
$AA$ $n$ $in$ $NN$ $EE$ $x_n$ $in$ $K : y_n=f(x_n)$
$EE {x_(kn)} -> xo in K $
$=> {f(x_(kn))} -> f(xo) in f(K) $
${f(x_(kn))}={y_(kn)} => f(K)$ è sequenzialmente compatto
________________________
non ho capito bene perchè se
$ {x_(kn)} -> xo in K $
allora
$=> {f(x_(kn))} -> f(xo) in f(K) $
Per caso è per il teorema di esistenza del limite di una funzione che si ammette questa cosa?
Non ho chiaro il concetto di "immagine di una successione", non capisco questo ${f(x_(kn))}$.
Risposte
Definizione di continuità?... 
$AA \epsilon >0 EE \delta >0 : AA x in I$*$(x_0,\delta) => |f(x)-f(x_0)|< \epsilon $
cioè esiste $lim_(x->x_0) f(x)=f(x_o)$
Ma
${f(x_(kn))} -> f(xo)$
non sarebbe
$lim_(n->oo){f(x_(kn))}$?
Quindi siccome ${(x_(kn))} -> xo$ allora quel limite vale $f(x_o)$ perchè la funzione all'infinito converge a $x_0$?
Diciamo che ci sono quasi
cioè esiste $lim_(x->x_0) f(x)=f(x_o)$
Ma
${f(x_(kn))} -> f(xo)$
non sarebbe
$lim_(n->oo){f(x_(kn))}$?
Quindi siccome ${(x_(kn))} -> xo$ allora quel limite vale $f(x_o)$ perchè la funzione all'infinito converge a $x_0$?
Diciamo che ci sono quasi
"piergiorgiof":
Ma
$ {f(x_(n_k))} -> f(x_0) $
non sarebbe
$ lim_(n->oo){f(x_(n_k))} $?
Non è detto che la successione $y_n=f(x_n)$ converga.
Inoltre ricorda che se $f$ è (uniformemente) continua allora $\lim_{k \rightarrow +\infty}
f(x_{n_k})=f(\lim_{k\rightarrow+\infty} x_{n_k}=x_0 \in K)$
Vorrei far notare che vale questo teorema:
Teorema: Una funzione \(\displaystyle f\colon X\to Y \) tra due spazi topologici \(\displaystyle X \), \(\displaystyle Y \) è continua se e solo se \(\displaystyle f(\lim_{\sigma\in \Sigma} x_{\sigma}) = \lim_{\sigma\in \Sigma} f(x_{\sigma}) \) per ogni rete \(\displaystyle \{ x_\sigma : \sigma\in \Sigma \} \) nello spazio \(\displaystyle X \). (esiste un teorema equivalente in termini di filtri)[nota]Il se e solo se non vale per le successioni. Infatti le successioni non sempre riescono a descrivere l'intera topologia.[/nota].
Pertanto è assolutamente lecito usare il fatto che \(\displaystyle f(\lim_{n\to \infty} x_{n}) = \lim_{n\to \infty} f(x_{n}) \), seppur non sia necessario alla dimostrazione. Infatti una funzione è continua se per ogni intorno \(\displaystyle V \) di \(\displaystyle y = f(x) \) esiste un intorno \(\displaystyle U \) di \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle f(U) \subseteq V \). Pertanto è sufficiente usare questo fatto per dimostrare che \(\displaystyle \overline{y} = f(\overline{x}) \) è il limite della successione \(\displaystyle \{ y_{k_n} = f(x_{k_n}) \} \) dove \(\displaystyle x_{k_n}\to \overline{x} \).
Teorema: Una funzione \(\displaystyle f\colon X\to Y \) tra due spazi topologici \(\displaystyle X \), \(\displaystyle Y \) è continua se e solo se \(\displaystyle f(\lim_{\sigma\in \Sigma} x_{\sigma}) = \lim_{\sigma\in \Sigma} f(x_{\sigma}) \) per ogni rete \(\displaystyle \{ x_\sigma : \sigma\in \Sigma \} \) nello spazio \(\displaystyle X \). (esiste un teorema equivalente in termini di filtri)[nota]Il se e solo se non vale per le successioni. Infatti le successioni non sempre riescono a descrivere l'intera topologia.[/nota].
Pertanto è assolutamente lecito usare il fatto che \(\displaystyle f(\lim_{n\to \infty} x_{n}) = \lim_{n\to \infty} f(x_{n}) \), seppur non sia necessario alla dimostrazione. Infatti una funzione è continua se per ogni intorno \(\displaystyle V \) di \(\displaystyle y = f(x) \) esiste un intorno \(\displaystyle U \) di \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle f(U) \subseteq V \). Pertanto è sufficiente usare questo fatto per dimostrare che \(\displaystyle \overline{y} = f(\overline{x}) \) è il limite della successione \(\displaystyle \{ y_{k_n} = f(x_{k_n}) \} \) dove \(\displaystyle x_{k_n}\to \overline{x} \).
@Vict
L'hai fatto notare per giustificare questo passaggio?
"vict85":
Vorrei far notare che vale questo teorema:
Teorema: Una funzione \( \displaystyle f\colon X\to Y \) tra due spazi topologici \( \displaystyle X \), \( \displaystyle Y \) è continua se e solo se \( \displaystyle f(\lim_{\sigma\in \Sigma} x_{\sigma}) = \lim_{\sigma\in \Sigma} f(x_{\sigma}) \) per ogni rete \( \displaystyle \{ x_\sigma : \sigma\in \Sigma \} \) nello spazio \( \displaystyle X \). (esiste un teorema equivalente in termini di filtri).
Pertanto è assolutamente lecito usare il fatto che \( \displaystyle f(\lim_{n\to \infty} x_{n}) = \lim_{n\to \infty} f(x_{n}) \), seppur non sia necessario alla dimostrazione.
L'hai fatto notare per giustificare questo passaggio?
Inoltre ricorda che se $f$ è (uniformemente) continua allora $\lim_{k \rightarrow +\infty}
f(x_{n_k})=f(\lim_{k\rightarrow+\infty} x_{n_k}=x_0 \in K)$
Si, non ho capito perché ritieni necessario che sia uniformemente continua. La continuità nel punto \(x_0\) è infatti sufficiente.
Infatti l'ho messo fra parentesi perché non ero sicuro se fosse anche necessaria.
Comunque, essendo \(\mathbb{R}\) primo numerabile https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_primo-numerabile (in quanto secondo numerabile) il teorema da me citato vale anche sostituendo a rete il termine successione. Che è poi quello a cui immagino facesse riferimento Gugo82. Comunque qui stiamo entrando pesantemente nella topologia generale.
...infatti! ahah
Un'altra cosa volevo chiedervi. Nel teorema di Weierstrass, dopo aver trovato con la seconda proprietà del sup e col teorema del confronto che:
posti
$L=$ sup $f(K)$
$\epsilon=1/n$
$AA n in NN EE y_n : L - 1/n < y_n < L $
$lim_(n->oo) y_n = L$
nei miei appunti viene poi estratta da ${y_n}$ una successione, per il th di Bolzano-Weierstrass convergente, ${y_(kn)}->x_0$.
Sempre per lo stesso ragionamento del mio post iniziale allora ${f(y_(kn))}->f(x_0)$
Non ho capito in base a cosa, alla fine, vengono uguagliati i due limiti
$lim_(n->oo) y_n = L = lim_(n->oo) f(y_(kn)) = f(x_0)$
Un'altra cosa volevo chiedervi. Nel teorema di Weierstrass, dopo aver trovato con la seconda proprietà del sup e col teorema del confronto che:
posti
$L=$ sup $f(K)$
$\epsilon=1/n$
$AA n in NN EE y_n : L - 1/n < y_n < L $
$lim_(n->oo) y_n = L$
nei miei appunti viene poi estratta da ${y_n}$ una successione, per il th di Bolzano-Weierstrass convergente, ${y_(kn)}->x_0$.
Sempre per lo stesso ragionamento del mio post iniziale allora ${f(y_(kn))}->f(x_0)$
Non ho capito in base a cosa, alla fine, vengono uguagliati i due limiti
$lim_(n->oo) y_n = L = lim_(n->oo) f(y_(kn)) = f(x_0)$
La cosa può apparire strana, ma i due teoremi da te citati sono in realtà uno solo. Infatti un insieme sequenzialmente compatto è limitato. E se è limitato allora esiste il \(\sup_{k\in K} f(k)\) ovvero esiste un successione di punti di \(f(K)\) che possiede \(\sup_{k\in K} f(k)\) come limite (in \(\mathbb{R}\), non necessariamente in \(f(K)\)). Usando il teorema iniziale sai che esiste un limite in \(f(K)\) e questo deve banalmente coincidere con \(\sup_{k\in K} f(k)\). Perciò il limite è in realtà un massimo.
Ti ringrazio molto vict!
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