Il teorema di Schwarz è invertibile?
Salve,
probabilmente una domanda sciocca, ma la posto ugualmente.
Data una $f : A \to RR$, dove $A$ è un aperto di $RR^{2}$, si può dire che se le derivate seconde miste $frac{del^{2}f}{delx dely}$ e $frac{del^{2}f}{dely delx}$ esistono e sono uguali in un punto $(x_0, y_0)$ allora sono continue in $(x_0, y_0)$?
Io direi di no, e aggiungerei che, visto che la derivabilità implica la continuità per funzioni di una variabile, posso solo dire che l'esistenza delle derivate seconde miste implica la continuità separata delle derivate prime, giusto?
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere
probabilmente una domanda sciocca, ma la posto ugualmente.
Data una $f : A \to RR$, dove $A$ è un aperto di $RR^{2}$, si può dire che se le derivate seconde miste $frac{del^{2}f}{delx dely}$ e $frac{del^{2}f}{dely delx}$ esistono e sono uguali in un punto $(x_0, y_0)$ allora sono continue in $(x_0, y_0)$?
Io direi di no, e aggiungerei che, visto che la derivabilità implica la continuità per funzioni di una variabile, posso solo dire che l'esistenza delle derivate seconde miste implica la continuità separata delle derivate prime, giusto?
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere
Risposte
E' giusto. Però un controesempio non è facilissimo da costruire... Tieni presente che questo teorema si può raffinare in due maniere:
a) Sia $f:Omega\sub RR^n \to RR$, $x\inOmega$, tale che $f_{x_i}, f_{x_j}, f_{x_i x_j}$ esistano in $x$. Se $f_{x_i x_j}$ è continua in $x$, allora esiste anche $f_{x_j x_i}(x)$ ed è uguale a $f_{x_i x_j}(x)$.
b) Puoi indebolire l'ipotesi che $f$ sia di classe $C^2$. Se $f$ è due volte differenziabile in $x\in Omega$ allora l'ordine delle derivate seconde miste è invertibile.
Ovvero: se in un punto una funzione è derivabile due volte e una derivata mista è continua, allora esista anche l'altra derivata ed è uguale alla precedente. Oppure se una funzione è differenziabile due volte in un punto, allora le derivate miste sono uguali nello stesso.
Resta escluso il caso di una funzione derivabile due volte, ma non differenziabile, con le derivate seconde miste aventi in comune un punto di discontinuità.
E' tra queste funzioni che bisogna cercare un controesempio. Se lo trovi, postalo perché mi incuriosisce la faccenda.
ciao!
a) Sia $f:Omega\sub RR^n \to RR$, $x\inOmega$, tale che $f_{x_i}, f_{x_j}, f_{x_i x_j}$ esistano in $x$. Se $f_{x_i x_j}$ è continua in $x$, allora esiste anche $f_{x_j x_i}(x)$ ed è uguale a $f_{x_i x_j}(x)$.
b) Puoi indebolire l'ipotesi che $f$ sia di classe $C^2$. Se $f$ è due volte differenziabile in $x\in Omega$ allora l'ordine delle derivate seconde miste è invertibile.
Ovvero: se in un punto una funzione è derivabile due volte e una derivata mista è continua, allora esista anche l'altra derivata ed è uguale alla precedente. Oppure se una funzione è differenziabile due volte in un punto, allora le derivate miste sono uguali nello stesso.
Resta escluso il caso di una funzione derivabile due volte, ma non differenziabile, con le derivate seconde miste aventi in comune un punto di discontinuità.
E' tra queste funzioni che bisogna cercare un controesempio. Se lo trovi, postalo perché mi incuriosisce la faccenda.
ciao!
Un modo per trovare un esempio di funzione con matrice Hessiana simmetrica ma non $C^2$ potrebbe essere:
partire da un esempio noto come questo (l'ho preso dal Salsa-Pagani Analisi matematica I):
$f(x,y):={(xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, (x,y)!=(0,0)),(0, (x,y)=(0,0)):}$
che è derivabile due volte, ma non vale il teorema di Schwarz.
Infatti $f_x(0,y)=-y, f_y(x,0)=x$, e perciò le derivate seconde miste sono $f_{xy}(0,0)=-1, f_{yx}(0,0)=1$.
Magari componendo con qualche trasformazione si riesce a fare in modo che le derivate miste vengano a coincidere, pur essendo discontinue.
partire da un esempio noto come questo (l'ho preso dal Salsa-Pagani Analisi matematica I):
$f(x,y):={(xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, (x,y)!=(0,0)),(0, (x,y)=(0,0)):}$
che è derivabile due volte, ma non vale il teorema di Schwarz.
Infatti $f_x(0,y)=-y, f_y(x,0)=x$, e perciò le derivate seconde miste sono $f_{xy}(0,0)=-1, f_{yx}(0,0)=1$.
Magari componendo con qualche trasformazione si riesce a fare in modo che le derivate miste vengano a coincidere, pur essendo discontinue.
"dissonance":
Un modo per trovare un esempio di funzione con matrice Hessiana simmetrica ma non $C^2$ potrebbe essere:
partire da un esempio noto come questo (l'ho preso dal Salsa-Pagani Analisi matematica I):
$f(x,y):={(xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, (x,y)!=(0,0)),(0, (x,y)=(0,0)):}$
che è derivabile due volte, ma non vale il teorema di Schwarz.
Infatti $f_x(0,y)=-y, f_y(x,0)=x$, e perciò le derivate seconde miste sono $f_{xy}(0,0)=-1, f_{yx}(0,0)=1$.
Magari componendo con qualche trasformazione si riesce a fare in modo che le derivate miste vengano a coincidere, pur essendo discontinue.
E' proprio l'esempio a cui stavo pensando...
Se mi riesce ti faccio sapere, grazie mille per la delucidazione!
Ciao,
ho trovato questo esempio di funzione che ammette derivate parziali prime in $(0,0)$ senza pero' essere continua in quel punto. Mi son messa a far due conti per trovare le derivate seconde miste ma mi sono persa...
Secondo te puo' andar bene come contro esempio?
$f(x,y) = \{((x^2y)/(x^4+y^2),if (x,y)!=(0,0)), (0,if (x,y)=(0,0)):}$
ps: non so perche' compaiono le & al posto delle virgole
ho trovato questo esempio di funzione che ammette derivate parziali prime in $(0,0)$ senza pero' essere continua in quel punto. Mi son messa a far due conti per trovare le derivate seconde miste ma mi sono persa...
Secondo te puo' andar bene come contro esempio?
$f(x,y) = \{((x^2y)/(x^4+y^2),if (x,y)!=(0,0)), (0,if (x,y)=(0,0)):}$
ps: non so perche' compaiono le & al posto delle virgole
E però se le derivate prime non sono continue... e non lo sono perché altrimenti avresti una funzione di classe $C^1$ quindi una funzione differenziabile quindi una funzione continua... allora le derivate prime non sono derivabili a loro volta. o mi sbaglio...?
No ripensandoci mi sbaglio. Una funzione può tranquillamente essere derivabile parzialmente senza essere continua. Adesso faccio due conti e poi ti faccio sapere.
Ecco il mio responso:
derivate parziali prime (per $(x,y)!=(0,0)$):
$f_{x} = -2xy(x^4-y^2)/(x^4+y^2)^2$
$f_{y} = x^2(x^4-y^2)/(x^4+y^2)^2$
e $0$ per $(x,y)=(0,0)$.
Le derivate seconde miste sono sicuramente uguali fuori dall'origine (perché lì la funzione è di classe $C^2$).
vediamo di derivare $f_x$ rispetto ad $y$ nell'origine:
$lim_{y\to0} \frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}{y}=lim_{x\to0} 0/x=0$.
facciamo lo stesso con $f_y$ rispetto ad $x$:
$lim_{x\to0} \frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x}=lim_{x\to0} \frac{x^6}{x^8}$
purtroppo questo limite non esiste
.
Quindi manca una derivata mista (la $del/(del y del x)$).
[size=75]
Naturalmente potrei aver sbagliato qualche conto, per questo ho dato tutto in pasto a Maple, ottenendo:
$fxy = -2*x*(x^8+y^4-6*x^4*y^2)/(x^4+y^2)^3$
$fyx = -2*x*(x^8+y^4-6*x^4*y^2)/(x^4+y^2)^3$
naturalmente non nell'origine. Che siano uguali non stupisce (è proprio il teorema di Schwarz, $f\inC^{\infty}(RR^2-0)$), ma se valuti la funzione $f_{yx}$ sulla retta $y=0$ vedi che in effetti la $f_{yx}(x,0)$ ha un punto di infinito nell'origine.
Da cui penso di poter affermare con sicurezza che non esiste $(del f)/(del y del x)$ nell'origine.[/size]
E' difficile trovarlo un controesempio per questa cosa... Però anche io come te sono convinto che ci debba essere.
Stavo pensando che per la topologia ci sono libri interi di controesempi. Non è che esiste qualcosa del genere anche per l'analisi?
derivate parziali prime (per $(x,y)!=(0,0)$):
$f_{x} = -2xy(x^4-y^2)/(x^4+y^2)^2$
$f_{y} = x^2(x^4-y^2)/(x^4+y^2)^2$
e $0$ per $(x,y)=(0,0)$.
Le derivate seconde miste sono sicuramente uguali fuori dall'origine (perché lì la funzione è di classe $C^2$).
vediamo di derivare $f_x$ rispetto ad $y$ nell'origine:
$lim_{y\to0} \frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}{y}=lim_{x\to0} 0/x=0$.
facciamo lo stesso con $f_y$ rispetto ad $x$:
$lim_{x\to0} \frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x}=lim_{x\to0} \frac{x^6}{x^8}$
purtroppo questo limite non esiste
.Quindi manca una derivata mista (la $del/(del y del x)$).
[size=75]
Naturalmente potrei aver sbagliato qualche conto, per questo ho dato tutto in pasto a Maple, ottenendo:
$fxy = -2*x*(x^8+y^4-6*x^4*y^2)/(x^4+y^2)^3$
$fyx = -2*x*(x^8+y^4-6*x^4*y^2)/(x^4+y^2)^3$
naturalmente non nell'origine. Che siano uguali non stupisce (è proprio il teorema di Schwarz, $f\inC^{\infty}(RR^2-0)$), ma se valuti la funzione $f_{yx}$ sulla retta $y=0$ vedi che in effetti la $f_{yx}(x,0)$ ha un punto di infinito nell'origine.
Da cui penso di poter affermare con sicurezza che non esiste $(del f)/(del y del x)$ nell'origine.[/size]
E' difficile trovarlo un controesempio per questa cosa... Però anche io come te sono convinto che ci debba essere.
Stavo pensando che per la topologia ci sono libri interi di controesempi. Non è che esiste qualcosa del genere anche per l'analisi?
Proviamo con
$f(x,y)=|xy|$ nel punto (0,0)
$f(x,y)=|xy|$ nel punto (0,0)
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