Il teorema di Dini
Salve. Ultimamente rivedendo gli argomenti oggetto di studio durante gi anni dell'università, sono incappato nel celeberrimo teorema di Dini. Ebbene confesso che, pur essendo laureato in Matematica ed avendo conseguentemente un certo trasporto per il ragionamento astratto, ho trovato questo teorema un pò avulso da tutto il contesto dell'analisi 2. Nel senso che, mentre gli altri argomenti si possono comunque ricondurre ad un'estensione del calcolo differenziale in più variabili e sono di estrema utilità in molti campi della scienza, questo teorema non porta a grandi risultati poichè, come tutti sanno, stabilisce l'esistenza della funzione implicita sotto certe ipotesi che non sto qui a ricordare. Ma il problema veramente utile ed interessante a mio avviso non è l'esistenza o meno della funzione implicita bensì l'esistenza o meno di quella esplicita ed un metodo che permetta di esplicitare una varibile in funzione delle altre nei vari casi. Infatti molto spesso è utile essere capaci di esplicitare una variabile in funzione di un'altra poichè questo permette di ricavare ad esempio la funzione inversa. Si pensi alle formule del moto uniformemente accelerato in fisica e all'importanza di sapere esplicitare il tempo in funzione dello spazio a partire dalla formula dell spazio in funzione del tempo. Ecco è molto più utile avere un teorema che dia delle condizioni di esplicitabilità ed un metodo per trovare l'esplicita piuttosto che sapere se esiste una certa funzione implicita che non viene nemmeno costruita. Cioè questo teorema ha un'utilità pratica pressochè nulla.
Gli esperti di Analisi storceranno il muso anzi faranno molto peggio ma io volevo sapere lo stesso cosa ne pensa questa piccola comunità virtuale di cultori della matematica.
Un salòuto a tutti.
Gli esperti di Analisi storceranno il muso anzi faranno molto peggio ma io volevo sapere lo stesso cosa ne pensa questa piccola comunità virtuale di cultori della matematica.
Un salòuto a tutti.
Risposte
Io sto seguendo il corso di Analisi 2...
Non sono molto d'accordo con quello che affermi tu.
Infatti, spesso in Matematica è già un grandissimo risultato riuscire ad affermare l'esistenza di una soluzione, anche senza riuscire a determinarla esattamente in forma chiusa, esprimendola come combinazione di costanti e funzioni note. Il teorema di Dini, d'altra parte, fa molto di più di quello che dici: infatti, permette di calcolare il differenziale della funzione definita implicitamente. E il differenziale ci permette di approssimare linearmente la funzione cercata.
Se poi la funzione implicita è di classe [tex]C^k(A)[/tex], dove [tex]A\subseteq \mathbb{R}^n[/tex], è possibile anche determinare il differenziale secondo, terzo e via fino al k-esimo. Quindi ci permette di scrivere uno sviluppo di Taylor della funzione che la approssima (localmente) al grado di precisione voluto.
In definitiva mi sembra che il Teorema di Dini sia molto concreto!
Inoltre, tieni presente, come ho già asserito, che il procedimento di esplicitazione non è materialmente eseguibile nella maggior parte dei casi. Ad esempio, è dimostrato che non siamo in grado di esplicitare mediante radicali l'equazione [tex]y=x^5+x+1[/tex] (se non sbaglio).
Non sono molto d'accordo con quello che affermi tu.
Infatti, spesso in Matematica è già un grandissimo risultato riuscire ad affermare l'esistenza di una soluzione, anche senza riuscire a determinarla esattamente in forma chiusa, esprimendola come combinazione di costanti e funzioni note. Il teorema di Dini, d'altra parte, fa molto di più di quello che dici: infatti, permette di calcolare il differenziale della funzione definita implicitamente. E il differenziale ci permette di approssimare linearmente la funzione cercata.
Se poi la funzione implicita è di classe [tex]C^k(A)[/tex], dove [tex]A\subseteq \mathbb{R}^n[/tex], è possibile anche determinare il differenziale secondo, terzo e via fino al k-esimo. Quindi ci permette di scrivere uno sviluppo di Taylor della funzione che la approssima (localmente) al grado di precisione voluto.
In definitiva mi sembra che il Teorema di Dini sia molto concreto!
Inoltre, tieni presente, come ho già asserito, che il procedimento di esplicitazione non è materialmente eseguibile nella maggior parte dei casi. Ad esempio, è dimostrato che non siamo in grado di esplicitare mediante radicali l'equazione [tex]y=x^5+x+1[/tex] (se non sbaglio).
"anonymous_c046ce":
Salve. Ultimamente rivedendo gli argomenti oggetto di studio durante gi anni dell'università, sono incappato nel celeberrimo teorema di Dini. [...] questo teorema non porta a grandi risultati poichè [...] stabilisce l'esistenza della funzione implicita sotto certe ipotesi che non sto qui a ricordare. Ma il problema veramente utile ed interessante a mio avviso non è l'esistenza o meno della funzione implicita bensì l'esistenza o meno di quella esplicita ed un metodo che permetta di esplicitare una varibile in funzione delle altre nei vari casi.
Sai com'è, tornare a dare uno sguardo non superficiale ai libri di Analisi II a volte è utile, quantomeno per risparmiarsi figuracce.
Infatti il teorema del Dini, volgarmente detto della funzione implicita ma che sarebbe più corretto chiamare della funzione implicitamente definita, fornisce proprio delle condizioni sufficienti a determinare una funzione "implicitamente definita" da un'equazione [tex]F(x,y)=0[/tex], ossia ad "esplicitare" un gruppo di variabili (e.g. [tex]y[/tex]) che figura nell'equazione in funzione dell'altro (e.g. [tex]x[/tex])...
Ricordo che il gruppo di variabili [tex]y\in \mathbb{R}^m[/tex] è implicitamente definito come funzione del gruppo di variabili [tex]x\in \mathbb{R}^n[/tex] equivale a dire che esistono un insieme non vuoto [tex]\Omega \subseteq \mathbb{R}^n[/tex] ed una funzione [tex]\varphi:\Omega \to \mathbb{R}^m[/tex] tali che:
[tex]\forall x\in \Omega,\quad F(x,\varphi (x))=0[/tex];
in tal caso si dice anche che [tex]\varphi[/tex] è implicitamente definita dall'equazione [tex]F(x,y)=0[/tex], oppure che l'equazione [tex]y=\varphi (x)[/tex] è una forma esplicita locale di [tex]F(x,y)=0[/tex] (ma questa locuzione è usata davvero pochissimo).
Ricordo della lezione di Analisi 2 in cui Degiovanni entrò e disse: "oggi vediamo i Th del Dini e di inversione locale, due dei più importanti teoremi dell'Analisi Matematica".
"Gugo82":ed è un peccato che non sia diffusa! "Forma esplicita locale" rende sinteticamente e precisamente l'idea.
in tal caso si dice anche che [tex]\varphi[/tex] è implicitamente definita dall'equazione [tex]F(x,y)=0[/tex], oppure che l'equazione [tex]y=\varphi (x)[/tex] è una forma esplicita locale di [tex]F(x,y)=0[/tex] (ma questa locuzione è usata davvero pochissimo).
"Fioravante Patrone":
[quote="Gugo82"]in tal caso si dice anche che [tex]\varphi[/tex] è implicitamente definita dall'equazione [tex]F(x,y)=0[/tex], oppure che l'equazione [tex]y=\varphi (x)[/tex] è una forma esplicita locale di [tex]F(x,y)=0[/tex] (ma questa locuzione è usata davvero pochissimo).
ed è un peccato che non sia diffusa! "Forma esplicita locale" rende sinteticamente e precisamente l'idea.[/quote]
Veramente me la sono inventata quando spiegavo il significato del teorema a certi studenti, per esigenza di chiarezza... Non l'ho mai vista da nessuna parte.
OK, mi impegno allora ad usarla tutte le volte che mi capita. Vediamo se il metodo del contagio funge 
"Forma esplicita locale"
Cosa vuol dire? E' una cucina, una mansarda o la camera da letto?.
Cosa vuol dire? E' una cucina, una mansarda o la camera da letto?.
Vuol solo dire che dalla forma implicita $F(x,y)=0$ passi, localmente, alla forma "esplicita" $y=f(x)$: una curva piana luogo degli zeri di una funzione regolare $F$ è localmente un grafico.
Per tornare anche sull'utilità del Teorema del Dini mi preme sottolineare il fatto che tale Teorema visto nel contesto della dimensione infinita fornisce uno degli strumenti più importanti che ha a disposizione l'Analisi non lineare (vedi Ambrosetti-Prodi, Analisi non lineare). Per esempio se $F(t,u,u')=0$ è un'equazione differenziale non in forma normale il Th del Dini permette, localmente, di scrivere tale equazione come $u'=f(t,u)$, la qual forma permette l'applicazione dei Th di esistenza e unicità.
Per tornare anche sull'utilità del Teorema del Dini mi preme sottolineare il fatto che tale Teorema visto nel contesto della dimensione infinita fornisce uno degli strumenti più importanti che ha a disposizione l'Analisi non lineare (vedi Ambrosetti-Prodi, Analisi non lineare). Per esempio se $F(t,u,u')=0$ è un'equazione differenziale non in forma normale il Th del Dini permette, localmente, di scrivere tale equazione come $u'=f(t,u)$, la qual forma permette l'applicazione dei Th di esistenza e unicità.
Caro Gugo il problema è proprio lì . Non è detto che se esiste la funzione implicita possiamo esplicitare una variabile in funzione delle altre. Il problema di esplicitare infatti è legato alla funzione particolare che èpuò avere una forma semplice, ad esempio quando è lineare si può sempre esplicitare facilmente, altre volte no.
Io ci andrei piano con le figuracce. Prima cercherei di documentarmi per rispondere in modo pertinente.
Io ci andrei piano con le figuracce. Prima cercherei di documentarmi per rispondere in modo pertinente.
Credo che non hai capito tu invece: esplicitare una variabile NON vuol dire che a mano riesci a scrivere $y=f(x)$: il Th del Dini ti dice, sotto opportune condizioni, che da $F(x,y)=0$ passi, localmente, a $y=f(x)$, ma il Th ti dice solo che esiste $f$. L'esplicitazione manuale come dici tu è priva di significato.
No scusate ma l'esplicitazione a mano come la chiami tu è fondamentale per determinar ad esempio la funzione inversa.
Ma la cosa importante è sapere che esiste, non tanto scriverla.....(scusate se mi sono intromesso)
Non stai capendo cosa vuol dire, in matematica, "determinare la funzione inversa", o "determinare la funzione esplicita dalla forma implicita"; questo mi stupisce parecchio vista la tua formazione... un laureato in Matematica che fa confusione su questi concetti?
Qui non si tratta di "trovare a mano la funzione inversa". Questo è un problema che non ha nemmeno senso formalizzarlo: cosa vuol dire?
Qui non si tratta di "trovare a mano la funzione inversa". Questo è un problema che non ha nemmeno senso formalizzarlo: cosa vuol dire?
"GIBI":
"Forma esplicita locale"
Cosa vuol dire? E' una cucina, una mansarda o la camera da letto?.
Il termine "locale" è un termine di uso universale in matematica e contraddistingue una serie importante di fenomeni, di proprietà.
Il suo vero significato è un segreto custodito attentamente dai matematici (d'altronde, se anche un ingegnere ne venisse a conoscenza, non lo potrebbe capire).
FP, guarda che stiamo parlando di Ulisse non di … Lamberto.
"anonymous_c046ce":
Caro Gugo il problema è proprio lì . Non è detto che se esiste la funzione implicita possiamo esplicitare una variabile in funzione delle altre. Il problema di esplicitare infatti è legato alla funzione particolare che èpuò avere una forma semplice, ad esempio quando è lineare si può sempre esplicitare facilmente, altre volte no.
Esplicitare "a mano" (giacché pare che questo tu voglia dire quando parli della "esistenza della funzione esplicita"*) è in generale impossibile, anche con funzioni elementari semplici.
Basta che prendi dei polinomi di grado superiore a 4 per rendertene conto.
"anonymous_c046ce":
Io ci andrei piano con le figuracce. Prima cercherei di documentarmi per rispondere in modo pertinente.
E io mi preoccuperei di usare termini appropriati, giacché sono laureato a pieni voti ed abilitato all'insegnamento (cfr. qui).
__________
* Già mi fa strano che un matematico confonda la possibilità di una costruzione esplicita con un risultato di esistenza... Insomma, a meno che tu non sia costruttivista, dovresti sapere che ci sono oggetti esistenti (matematicamente parlando) ma non costruibili né "a mano" né con procedimenti molto più sofisticati.
"Gugo82":
Basta che prendi dei polinomi di grado superiore a 4 per rendertene conto.
Non a caso suggerivo l'uso del th di Dini proprio per il TIR. Più specificamente, per valutare la sensitività del TIR rispetto a varizioni dei flussi di cassa ai vari anni.
E ovviamente si tratta di risorlvere una equazione algebrica, tipicamente di grado maggiore di 4...
[mod="Gugo82"]@GIBI: Noi stiamo parlando di Analisi Matematica.
Questa sezione non è dedicata alle discussioni politiche né al tuo solito spam; quindi ti prego di evitare post del genere.[/mod]
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