Il problema di Neumann

[Ale_biffi]

Buonasera a tutti!
Recentemente mi sono imbattuta nel seguente problema

Sia U un insieme connesso. Si usino un metodo di energia e il principio di massimo per mostrare che le uniche soluzioni regolari del problema di Neumann

$ { ( -Deltau=0 text( su U) ),( (del u) / (delv) = 0 text( su ) del U ):} $

sono le funzioni identicamente uguali ad una costante!
(la derivata riguardante la condizione al bordo è da considerarsi la derivata normale)

Sono riuscita facilmente ad usare il principio di massimo, ma non so bene come fare con i metodi energia..qualcuno può aiutarmi?? grazie!!

[gervanio1]

anche io sono riuscito ad utilizzare facilmente il principio di massimo..i metodi di energia devi scinderli e trovare soluzioni uniche per poi riassemblarle all'intero. almeno..il mio prof mi ha detto così, ma io non ho mai capito niente

[gugo82]

Beh... Il trucco dell'energia è sempre lo stesso: usare il teorema della divergenza.

Moltiplicando m.a.m. la PDE per \(u\) ed integrando ambo i membri dell'uguaglianza che ne risulta utilizzando il suddetto teorema, nonché tenendo presenti le condizioni di bordo, si trova:
\[
\begin{split}
0 &= -\int_U u\ \Delta u\ \text{d} x\\
&= \int_U |\nabla u|^2\ \text{d} x \underbrace{\color{maroon}{-\int_{\partial U} u\ \frac{\partial u}{\partial \nu}\ \text{d} \sigma}}_{=0 \text{ per condizioni al bordo}}\\
&= \int_U |\nabla u|^2\ \text{d} x
\end{split}
\]
e da ciò segue che \(\nabla u =o\) in \(U\), ossia \(u=\text{cost.}\) in \(U\).

[Ale_biffi]

Grazie mille!!
Non avevo preso in considerazione il teorema della divergenza..e mi perdevo nei conti!
Sei stato molto chiaro! grazie ancora